Análise real/Unicidade dos números reais: diferenças entre revisões
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Linha 30:
Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que <math>\mathbb{F}, \mathbb{K}</math> são corpos, então existe <math>0,1 \in \mathbb{F}</math> e <math>0',1' \in \mathbb{K}</math>, nada mais natural que definirmos:
Seja <math>f:\mathbb{Q} \subset \mathbb{F} \to \mathbb{K}</math> definida da seguinte maneira:
Linha 51:
Desta forma a função <math>f</math> mapeia <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{F}</math> em <math>\mathbb{Q}' := f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{K}</math>.
Vamos mostrar que <math>f</math> é um isomorfismo de corpos ordenados de <math>\mathbb{Q}</math> em <math>\mathbb{Q}'.</math>
* <math>f</math> preserva a soma:
Por definição, temos <math>f(n + 1) = f(n) + 1' = f(n) + f(1)</math>, para todo n natural.
Suponha que <math>f(n + m) = f(n) + f(m)</math>, para todo <math>m</math> tal que <math>1 \leq m < k</math>.
<math>f(n + (k - 1)) + f(1) = f(n) + f(k - 1) + f(1) = f(n) + f(k)</math>, pela hipótese de indução.
* <math>f</math> preserva o produto:
* <math>f</math> preserva a ordem:
* <math>f</math> é injetora:
* <math>f</math> é sobrejetora;
Linha 58 ⟶ 77:
Agora vamos provar que <math>\phi</math> é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.
* <math>\phi</math> preserva a soma:
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