Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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→O anel das classes de congruência: +figura e texto explicativo sobre Zn |
+texto: anél Z_m; homomorfismo de anéis |
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Deste modo, cada ponto da circunferência representa uma das classes de equivalência módulo <math>n\,\!</math>, ou seja, o conjunto dos números inteiros que ficaram sobrepostos naquele ponto da circunferência.
Mas o que há de interessante em particionar o conjunto dos números inteiros?
A grande utilidade de separar os números inteiros em várias classes de congruência é consequência da compatibilidade da congruência com as operações de adição e multiplicação: Sabendo-se que elas são compatíveis, é possível definir
em cada <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math> novas operações de adição e multiplicação. O procedimento é o seguinte:
Fixado um inteiro <math>m\,\!</math>, e dadas as classes <math>[a], [b]\,\!</math>, define-se:
:<math>[a] + [b] = [a + b] \,\!</math>
:<math>[a] \times [b] = [a \times b] \,\!</math> (ou simplesmente <math>[a] [b] = [a b] \,\!</math>)
Em outras palavras, a soma (produto) das classes de congruência dos inteiros <math>a, b\,\!</math> é a classe de congruência de sua soma (produto).
É importante notar onde é utilizada a compatibilidade da congruência com as operações de <math>\mathbb{Z}\,\!</math>: Dadas duas classes de equivalência <math>A=[a]=[a']\,\!</math> e <math>B=[b]=[b']\,\!</math>, tanto faz obter <math>[A]+[B]\,\!</math> como sendo <math>[a+b],[a'+b],[a+b']\,\!</math> ou <math>[a'+b']\,\!</math>. Todas essas classes são idênticas!
Mais do que isso, ao definir essas operações, <math>(\mathbb{Z}_m, +, \times)\,\!</math> torna-se um [[w:Anel|anel]] com unidade, ou seja, são válidas as seguintes propriedades:
{{Tarefa|Incluir propriedades que definem um anel com unidade, possivelmente com link para o livro de [[Álgebra abstrata]].}}
Além disso, tem-se um [[w:homomorfismo de anéis|homomorfismo de anéis]] entre <math>\mathbb{Z}\,\!</math> e <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math>:
:<math>\rho: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_m = \{ m\mathbb{Z} + 0, m\mathbb{Z} + 1,\ldots , m\mathbb{Z} + (m-1) \}\,\!</math>
:<math>\rho(x) = [x] = [x \!\!\!\!\pmod{m}]\,\!</math>
=== Exemplos ===
{{Tarefa|Incluir tábuas das 2 operações para <math>\mathbb{Z}_6\,\!</math>, destacando os divisores de zero.}}
== Exercícios ==
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