Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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+exemplo de anel com nilpotentes: Z_12; +tabela |
m →O anel das classes de congruência: esboço |
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Linha 279:
|}
O próximo passo é tentar compreender algebricamente os conjuntos <math>( \mathbb{Z}_{m} , + ) \,\!</math>.
No próximo diagrama pode ser observada a estrutura aditiva de <math>( \mathbb{Z}_{m} , + ) \,\!</math>:
:<math>\rho: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_m\,\!</math>
:<math>G \ \ \ H\,\!</math>
:<math>mZ \rightarrow 0\,\!</math>
<math>H\,\!</math> é subgrupo aditivo de <math> \mathbb{Z}_m \,\!</math>.
<math>H = \rho (G)\,\!</math>, <math>G\,\!</math> subgrupo aditivo de <math> \mathbb{Z}_m \,\!</math>
:<math>mZ = ker (\rho) \subset G \,\!</math>
:<math>G = d \mathbb{Z}\,\!</math>
:<math>m \mathbb{Z} \subset d \mathbb{Z} \Leftrightarrow d|m\,\!</math>. Logo <math>H = d \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \,\!</math>
:<math>\overline{x} \in \mathbb{Z}_m\,\!</math>
:<math>ord^+_m(x) = k \,\!</math>
:<math>\overline{k \cdot x} = k \cdot \overline{x} = \overline{0}\,\!</math>
:<math>kx \equiv 0 \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math>
Menor <math> k \,\!</math> tal que <math> m | kx \,\!</math>. <math>kx = mmc (x,m) = \frac{x \cdot m}{(x,m)}\,\!</math>
:<math>ord^+_m(x) = \frac{m}{(x,m)}\,\!</math>
:<math>(x,m) = 1 \Rightarrow \overline{x}\,\!</math> gera <math> \mathbb{Z}_m \,\!</math>, ou seja são os blocos básicos.
{{Tarefa|Incluir tabela com as ''ordens aditivas'' módulo 6. (Pg. 7; Aula 4)}}
:<math>G = d \mathbb{Z}\,\!</math>
:<math>m \mathbb{Z} \subset d \mathbb{Z} \Leftrightarrow d|m\,\!</math>. Logo <math>H = d \mathbb{Z} / m \mathbb{Z} \,\!</math>
Corolário da p7
: Se p é primo então <math>\mathbb{Z}_p \,\!</math> não tem subgrupos triviais.
:<math>xy \equiv 0 \!\!\!\!\pmod{p} \,\!</math>
:<math>p|xy \Rightarrow p|x\,\!</math> ou <math>p|y\,\!</math>. Isso implica que <math>x = \overline{0} ou y = \overline{0} \Rightarrow \mathbb{Z}_p\,\!</math> é domínio de integridade e portanto, <math>\mathbb{Z}_p\,\!</math> é corpo (todo domínio finito é corpo).
Exemplo:
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!width="40px"| <math>\times\,\!</math> ||width="40px"| 0 ||width="40px"| 1 ||width="40px"| 2 ||width="40px"| 3 ||width="40px"| 4
|-
! 0
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
! 1
| 0 || 1 || 2 || 3 || 4
|-
! 2
| 0 || 2 || 4 || 1 || 3
|-
! 3
| 0 || 3 || 1 || 4 || 2
|-
! 4
| 0 || 4 || 3 || 2 || 1
|}
Outra consequencia é que, fixado z não nulo em Z_p, a função <math>\mu: \mathbb{Z}_p \rightarrow \mathbb{Z}_p\,\!</math>, definida por <math>\mu (x) = z x\,\!</math> é injetiva, pois:
== Exercícios ==
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