Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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m →O anel das classes de congruência: esboço |
+tabela e ajustes; +trad. da def. de anel com unidade de en:Ring (mathematics) |
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[[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]] foi um famoso matemático, astrônomo e físico alemão.
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{{tarefa|Incluir breve biografia sobre [[w:Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss]], enfatizando suas contribuições na teoria de números.}}
== Definição ==
Linha 178:
Mais do que isso, ao definir essas operações, <math>(\mathbb{Z}_m, +, \times)\,\!</math> torna-se um [[w:Anel|anel]] com unidade, ou seja, são válidas as seguintes propriedades:
Além disso, tem-se um [[w:homomorfismo de anéis|homomorfismo de anéis]] entre <math>\mathbb{Z} = \{ 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \}\,\!</math> e <math>\mathbb{Z}_m = \{ m\mathbb{Z} + 0, m\mathbb{Z} + 1,\ldots , m\mathbb{Z} + (m-1) \} \,\!</math>:▼
:<math>\rho: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_m
▲Além disso, tem-se um [[w:homomorfismo de anéis|homomorfismo de anéis]] entre <math>\mathbb{Z}\,\!</math> e <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math>:
▲:<math>\rho: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_m = \{ m\mathbb{Z} + 0, m\mathbb{Z} + 1,\ldots , m\mathbb{Z} + (m-1) \}\,\!</math>
:<math>\rho(x) = [x] = [x \!\!\!\!\pmod{m}]\,\!</math>
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:'''Recordando...'''
:Um anel com unidade é um conjunto ''R'' equipado com duas operações binárias + : ''R'' × ''R'' → ''R'' e ⋅ : ''R'' × ''R'' → ''R'' (onde × denota o produto cartesiano), chamadas de ''adição'' e ''multiplicação'', tais que:
:* (''R'', +) é um grupo abeliano com elemento identidade, isto é, para todo ''a'', ''b'', ''c'' em ''R'', vale o seguinte:
:** (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'') (+ é associativa)
:** 0 + ''a'' = a (0 é a identidade)
:** ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' (+ é comutativa)
:** para cada ''a'' em ''R'' existe −''a'' em ''R'' tal que ''a'' + (−''a'') = (−''a'') + ''a'' = 0 (−''a'' é o elemento inverso de ''a'')
:* (''R'', ⋅) é um monóide com elemento identidade 1, isto é, para todo ''a'', ''b'', ''c'' em ''R'', vale:
:** (''a'' ⋅ ''b'') ⋅ ''c'' = ''a'' ⋅ (''b'' ⋅ ''c'') (⋅ é associativa)
:** 1 ⋅ ''a'' = ''a'' ⋅ 1 = ''a'' (1 é a identidade)
:* Multiplicação se distribui em relação a adição:
:** ''a'' ⋅ (''b'' + ''c'') = (''a'' ⋅ ''b'') + (''a'' ⋅ ''c'')
:** (''a'' + ''b'') ⋅ ''c'' = (''a'' ⋅ ''c'') + (''b'' ⋅ ''c'').
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=== Exemplos ===
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|-
! 2
| 0 || 2 || 4 ||
|-
! 3
| 0 || 3 ||
|-
! 4
| 0 || 4 || 2 ||
|-
! 5
Linha 261 ⟶ 278:
|-
! 6
| 0 || 6 || 0 || 6 || 0 || 6 ||
|-
! 7
Linha 304 ⟶ 321:
:<math>(x,m) = 1 \Rightarrow \overline{x}\,\!</math> gera <math> \mathbb{Z}_m \,\!</math>, ou seja são os blocos básicos.
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!width="40px"| <math>+\,\!</math> ||width="40px"| 1 ||width="40px"| 2 ||width="40px"| 3 ||width="40px"| 4 ||width="40px"| 5 ||width="40px"| 6
|-
! 0
| '''0''' || || || || ||
|-
! 1
| 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || '''0'''
|-
! 2
| 2 || 4 || '''0''' || || ||
|-
! 3
| 3 || '''0''' || || || ||
|-
! 4
| 4 || 2 || '''0''' || || ||
|-
! 5
| 5 || 4 || 3 || 2 || 1 || '''0'''
|}
:<math>G = d \mathbb{Z}\,\!</math>
Linha 315 ⟶ 354:
:<math>xy \equiv 0 \!\!\!\!\pmod{p} \,\!</math>
:<math>p|xy \Rightarrow p|x\,\!</math> ou <math>p|y\,\!</math>. Isso implica que <math>x = \overline{0}\,\!</math> ou <math>y = \overline{0}
Exemplo:
| |||