Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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→Exemplos: adição: como obter inversos em Z_p |
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Outra consequencia é que, fixado z não nulo em Z_p, a função <math>\mu: \mathbb{Z}_p \rightarrow \mathbb{Z}_p\,\!</math>, definida por <math>\mu (x) = z x\,\!</math> é injetiva, pois
Em particular, da sobrejetividade de <math>\mu\,\!</math>, e de <math>1 \in \mathbb{Z}_p \,\!</math> (a imagem de <math>\mu\,\!</math>), segue a existência de <math>z' \in \mathbb{Z}_p \,\!</math> tal que <math>\mu (z') = 1\,\!</math>, ou seja, tal que <math>z z' \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{p} \,\!</math>.
Algebricamente, o significado da sobrejetividade de <math>\mu\,\!</math> é a existência de um elemento inverso para cada <math>z \in \mathbb{Z}_p\,\!</math> (quando ''p'' é primo). No entanto, a argumentação anterior é não construtiva, pois não indica um método para obter o inverso de um certo <math>z \in \mathbb{Z}_p\,\!</math>.
Pode-se obter outra justificativa para a existência de elementos inversos em <math>\mathbb{Z}_p\,\!</math> usando o teorema de Bezout.
De fato, <math>\bar{z} \not = \bar{0}\,\!</math> se, e somente se, <math>p \not | z\,\!</math>, ou seja, se, e somente, <math>(p,z) = 1\,\!</math>. Usando o algoritmo de Euclides, pode-se então encontrar <math>u,v \in \mathbb{Z}\,\!</math> tais que <math>pu+zv=1\,\!</math>. Em particular, usando congruências módulo ''p'' segue <math>pu+zv\equiv 1 \!\!\!\!\pmod{p} \,\!</math>. Donde
<math>0+zv\equiv 1 \!\!\!\!\pmod{p} \,\!</math>, ou seja, <math>zv\equiv 1 \!\!\!\!\pmod{p} \,\!</math>. Portanto, o <math>z'\,\!</math> procurado é simplesmente <math>v \!\!\!\!\pmod{p} \,\!</math>.
== Exercícios ==
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