Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões

[edição não verificada][edição não verificada]
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
+resuminho; +definição e ex. de unidade em Z_m; + correção em exercício
+def: função "phi" de Euler
Linha 420:
 
* <math>U_7 = \{ \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}, \bar{7} \}\,\!</math>
 
=== Propriedades das unidades ===
Pode-se verificar que para qualquer <math>m\,\!</math>, o conjunto <math>U_m\,\!</math>, das unidades de <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math>, é um grupo multiplicativo finito. Em particular, sempre que <math>u,v \in U_m\,\!</math>, tem-se <math>uv \in U_m\,\!</math>. Além disso, <math>1 \in U_m\,\!</math> e existe <math>v \in U_m\,\!</math> tal que <math>uv = 1 \,\!</math>.
 
Novamente, a estrutura de <math>U_m\,\!</math> reflete as propriedades aritméticas de <math>m\,\!</math>. Para melhor entender o que isso significa, é interessante saber para cada <math>m\,\!</math> a quantidade de elementos de <math>U_m\,\!</math>. É razoável esperar que esse número varie com <math>m\,\!</math>, então o melhor é definir uma função que associa <math>m\,\!</math> com a cardinalidade de <math>U_m\,\!</math>:
 
{{Definição|texto=
A função <math>U_m\,\!</math> de Euler é a função que associa a cada <math>m\,\!</math> o número de elementos de <math>U_m\,\!</math>:
:<math>\phi (m ) = | U_m | \,\!</math>
}}
 
;Observações:
* Convenciona-se que <math>\phi (1) = 1\,\!</math>.
* O valor <math>\phi (m)\,\!</math> é justamente a quantidade de números de <math>1\,\!</math> a <math>m\,\!</math> que são coprimos com <math>m\,\!</math>:
{{Demonstração|
De fato, se <math>\bar{x} \in U_m \,\!</math>, então existe <math>\bar{y} \in U_m \,\!</math> tal que <math>\bar{x} \bar{y} = \bar{1} \,\!</math>, ou seja, <math>xy \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math>. Isso significa que <math>xy=1+nk\,\!</math>, ou seja, que <math>xy + m(-k)=1 \,\!</math>. Segue que <math>(x,m)=1\,\!</math>.
 
Reciprocamente, se <math>(x,m)=1\,\!</math>, então <math>xy + mz =1 \,\!</math> (teorema de Bézout). Logo, <math>xy \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math> e consequentemente, <math>\bar{x} \bar{y} = \bar{1} \,\!</math>. Neste caso, <math>\bar{x} \in U_m \,\!</math>.
}}