Análise real/Integral de Riemann: diferenças entre revisões

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Nova página: A Integral de Riemann têm como objetivo o cálculo de área de uma figura limitada por funções particulares. Podemos calcular a área de uma figura através da divisão da figura in...
 
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* Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
 
== soma inferior e Soma Superior ==
== Aproximações ==
[[Image:Integral_approximations.svg|center|500px]]
 
Podemos calcular a área da partição P da seguinte forma:
* Por falta <math> A(falta) = m_1(t_1-t_0) + m_2(t_2-t_1) = \underline{S}(f;P) </math> conhecido como soma inferior
* Por falta
** Onde <math> A(falta) = m_1(t_1-t_0) + m_2(t_2-t_1) \mbox{ onde } m_1 = inf \{ f(x);x \in [t_0,t_1] \} \mbox{ e } m_2 = inf \{ f(x);x \in [t_1,t_2] \} </math>
* Por sobra <math> A(sobra) = M_1(t_1-t_0) + M_2(t_2-t_1) = \overline{S}(f;P) </math> conhecido como soma superior
* Por sobra
** Onde <math> A(sobra) = M_1(t_1-t_0) + M_2(t_2-t_1) \mbox{ onde } M_1 = sup \{ f(x);x \in [t_0,t_1] \} \mbox{ e } M_2 = sup \{ f(x);x \in [t_1,t_2] \}</math>
*** (f,P) significa que a área está sendo feitacalculada na função f e na partição P.
* chamamos A(falta)<math> = \underline{A}(f;P) </math> e A(sobra) <math> = \overline{A}(f;P); </math>
*** estamos trocando A por S, pois S é uma soma de áreas, enquanto A é só uma área;
** (f,P) significa que a área está sendo feita na função f e na partição P.
 
=== Relações entre partições ===
* SejaSejam <math> Pm = \inf{f(x);x t_0,\in t_1[a, ..., t_{k-1}, t_k \}b] \mbox{ e } QM = Psup{f(x);x \cupin \{ t_{k+1} \}[a,b]</math>
* <math> m(b-a) <= </math>
*
Sejam <math> P = \{ t_0, t_1, ..., t_{l-1}, t_l, t_{l+1}, ... t_{k-1}, t_k \} \mbox{ e } Q = P \cup \{ c \} \mbox{ onde } c \in [t_{l-1},t_l]</math>
 
* <math> \underline{S}(f;P) = \sum_{i=1}^{k} m_i(t_i-t_{i-1}) = \sum_{i=1}^{l-1} m_i(t_i-t_{i-1}) + m_l(t_l-t_{l-1}) + \sum_{i=l}^{k} m_i(t_i-t_{i-1}) </math>
== soma inferior e Soma Superior ==
* <math> \underline{S}(f;Q) = \sum_{i=1}^{l-1} m_i(t_i-t_{i-1}) + m'(c-t_{l-1}) + m''(t_l-c) + \sum_{i=l}^{k} m_i(t_i-t_{i-1}) </math>
** Onde <math> m' = inf \{ f(x); x \in [t_{l-1},c] \} \mbox{ e } m'' = inf \{ f(x); x \in [c,t_i] \} </math>
* s(f;P)=