Análise real/Integral de Riemann: diferenças entre revisões
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Linha 11:
* Quando Particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela. É claro que se a partição for pequena vai existir um certo erro.
* Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos <math>
* Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
* Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)
== soma inferior e Soma Superior ==
[[Image:Integral_approximations.svg|center|500px]]
*
Podemos calcular a área da partição <math> P_1 </math> da seguinte forma:▼
*
▲*(A2)Podemos calcular a área da partição <math> P_1 </math> da seguinte forma:
▲** Onde <math> m_1 = inf \{ f(x);x \in [t_0,t_1] \} \mbox{ e } m_2 = inf \{ f(x);x \in [t_1,t_2] \} </math>
** Por
*** Onde <math>
** Por sobra <math> A(sobra) = M_1(t_1-t_0) + M_2(t_2-t_1) = \overline{S}(f;P_1) </math> conhecido como soma superior
▲*** (f,P) significa que a área está sendo calculada na função f e na partição P.
*** Onde <math> M_1 = sup \{ f(x);x \in [t_0,t_1] \} \mbox{ e } M_2 = sup \{ f(x);x \in [t_1,t_2] \}</math>
**Como <math> m_1 \le M_1 \mbox{ e } m_2 \le M_2 </math>. Logo <math> \underline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_1) </math>
*(A3) Seja <math> m(b-a) = m(t_2-t_0) \mbox{. Tomando } t_1 \in [t_0, t_2] \mbox{, temos } m(t_2-t_1+t_1-t_0) = </math>
=== Relações entre partições ===▼
*
*(A2),(A3)e(A4) <math> \underline{S}(f;P_0) \le \underline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_0) </math>.
Sejam <math> P = \{ t_0, t_1, ..., t_{l-1}, t_l, t_{l+1}, ... t_{k-1}, t_k \} \mbox{ e } Q = P \cup \{ c \} \mbox{ onde } c \in [t_{l-1},t_l]</math>▼
* <math> \underline{S}(f;P) = \sum_{i=1}^{k} m_i(t_i-t_{i-1}) = \sum_{i=1}^{l-1} m_i(t_i-t_{i-1}) + m_l(t_l-t_{l-1}) + \sum_{i=l}^{k} m_i(t_i-t_{i-1}) </math>▼
==== Lema 1====
Sejam <math> f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} </math> limitada, as partições <math>P_{k-1} \mbox{, Q cujo } Q = P_{k-1} \cup \{c\} \mbox{ onde } \underline{S}(f;P_{k-1}) \le \underline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P_{k-1}) </math>.
===== Demonstração =====
▲Sejam <math>
▲* <math> \underline{S}(f;
* <math> \underline{S}(f;Q) = \sum_{i=1}^{l-1} m_i(t_i-t_{i-1}) + m'(c-t_{l-1}) + m''(t_l-c) + \sum_{i=l}^{k} m_i(t_i-t_{i-1}) </math>
** Onde <math> m' = inf \{ f(x); x \in [t_{l-1},c] \} \mbox{ e } m'' = inf \{ f(x); x \in [c,t_i] \} </math>
* É verdade que <math> m_l(t_l-t_{l-1}) = m_l(t_l-c+c-t_{l-1}) = m_l(t_l-c)+ m_l(c-t_{l-1})\mbox{ como } m_l \le m' \mbox{ e } m_l \le m'' </math>. Então <math> \underline{S}(f;P_{k-1}) \le \underline{S}(f;Q) </math>
* De forma análoga se demonstra que <math> \overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P_{k-1}) </math>
==== Teorema 1====
Sejam <math> f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} </math> limitada, Quando se refina uma partição a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta
===== Demonstração =====
Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.
==== Corolário ====
Sejam <math> f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} </math> limitada, e as partições P e Q, onde <math> \underline{S}(f;P) \le \overline{S}(f;Q) </math>.
===== Demonstração =====
Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos <math> \underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;P \cup Q) \mbox{ e }\overline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P) </math>. Como <math> \underline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P \cup Q) \Rightarrow \underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P) </math>.
== Integral inferior e Integral superior ==
<math> </math>
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