Análise rn/Espaços vetoriais: diferenças entre revisões

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**Reciprocamente dada uma matriz <math> (a_{ij}) </math> com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear <math> A:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math> nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor <math> a\in\mathbb{R}^m </math> tendo-se <math> A\cdot x = \sum_{j=1}^{m} xj\cdot Ae_j </math>

** Cada matriz real <math> n\times m </math> pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano <math> \mathbb{R}^{nm} </math>, basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto <math> \mathfrak{L} ( \mathbb{R}^m; \mathbb{R}^n ) </math> das aplicações lineares de <math> \mathbb{R}^m</math> em <math> \mathbb{R}^n</math>; ora pelo conjunto <math> M(n\times m) </math> das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional<math> \mathbb{R}^{nm} </math>.

* Os funcionais lineares <math> f:\mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n </math>são um tipo especial de aplicação linear.

** Sejam <math> y_j = f(e_j); j \in I_m </math> os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer <math> a \in \mathbb{R}^m </math>, temos <math> a = \sum_{i=1}^{m} a_ie_i </math>, logo <math> f(a) = \sum_{i=1}^{m} a_if(e_i) </math>, ou seja, <math> f(a) = \sum_{i=1}^{m} y_ia_i </math>

== Produto Interno e Norma ==

 

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