Análise real/Integral de Riemann: diferenças entre revisões
| [edição não verificada] | [edição não verificada] |
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Sem resumo de edição |
Sem resumo de edição |
||
Linha 8:
== Propriedades de uma Área no <math> \mathbb{R}^2</math> ==
[[Image:Integral_numericky_obd.svg|center|
* Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
Linha 14:
== Partição do Domínio [a,b] ==
[[Image:Riemann.gif|center|
* Quando
* (f,P) significa que a área relacionada a função f
* Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos <math> P_1 = \{ t_0; t_1; t_2 \} \mbox{ com } t_0=a \mbox{ e } t_2 = b</math>. Aqui estamos dividindo o intervalo [a,b] em <math> [t_0, t_1] \mbox{ e } [t_1, t_2] </math>
* Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
Linha 23:
== soma inferior e Soma Superior ==
[[Image:Integral_approximations.svg|center|
*(A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a
: Sejam <math> m = \mbox{inf} \{ f(x);x \in [a,b] \} \mbox{ e } M = \mbox{sup} \{f(x);x \in [a,b]\} </math> *(A2) Sejam <math> m_i \; e \; M_i </math>; menor e maior "altura" do retângulo de base <math> t_i-t_{i-1} </math>
:: Como <math> m_1 \le M_1 \mbox{ e } m_2 \le M_2 </math>. Logo <math> \underline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_1) </math>
*(A3) Seja <math> m(b-a) = m(t_2-t_0) \mbox{. Tomando } t_1 \in [t_0, t_2] \mbox{, temos } m(t_2-t_1+t_1-t_0) = </math>
<math> = m(t_2-t_1)+m(t_1-t_0) \le m_2(t_2-t_1)+m_1(t_1-t_0) \Rightarrow \underline{S}(f;P_0) \le \underline{S}(f;P_1) \mbox{, pois } m \le m_1 \mbox{ e } m \le m_2</math>
*(A4) o fato que <math> \overline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_0) </math> é análogo a (A3)
*(A2),(A3)e(A4) <math> \underline{S}(f;P_0) \le \underline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_1) \le \overline{S}(f;P_0) </math>.
Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até <math> | \overline{S}(f;P_\infty) - \underline{S}(f;P_\infty)| < \epsilon, onde \; P_\infty </math> será para nós quando <math> \lim_{P_i \to P_\infty} |t_i-t_{i-1}| = 0</math>. Então encontraremos a área da figura.
=== Relações entre partição e subpartição ===
==== Lema 1(Refinando uma partição)====
Sejam <math> f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} </math> limitada
: ===== Demonstração =====
Sejam <math> P_{k-1} = \{ t_0, t_1, ..., t_{l-1}, t_l, t_{l+1}, ... t_{k-1}, t_k \} \mbox{ e } Q = P_{k-1} \cup \{ c \} \mbox{ onde } c \in [t_{l-1},t_l]</math>
Linha 66 ⟶ 72:
*<math> \underline {\int}_{a}^{b} f(x)\, dx = \mbox{ sup }\underline{S}(f;P^*) </math> é a integral inferior de f
*<math> \overline {\int}_{a}^{b} f(x)\, dx = \mbox{ inf }\overline{S}(f;P^*) </math> é a integral superior de f
Pelo Lema 1 <math> \underline{S}(f;P^*) \le \mbox{ sup }\underline{S}(f;P^*) \le \mbox{ inf }\overline{S}(f;P^*) \le \overline{S}(f;P^*) </math>.
: Logo <math> \underline{S}(f;P^*) \le \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx\ \le \overline{S}(f;P^*) </math>.
| |||