Álgebra abstrata/Números naturais: diferenças entre revisões
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Intuitivamente, é qualquer conjunto onde, dados dois objetos, sabemos, sem equívoco, qual deles é o maior. Em vez de dar uma definição abstrata de ordenação, vamos começar com alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar as características básicas que permitirão uma definição mais formal. Esta abordagem, apesar de não ser tão rigorosa desde o início, deve facilitar a compreensão do conceito abstrato. Nosso primeiro e mais importante passo é definir os '''números naturais'''.
=== Números naturais ===
É o conjunto básico de análise <math>\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}</math> (Alguns autores tomam <math>\{0,1,2,\ldots\}</math> - quando queremos referir-se a este conjunto usamos <math>\mathbb{N}_0</math>).
==== Relação de equivalência ====
Uma relação <math>=</math> é chamada de '''relação de equivalência''' se forem satisfeitos os seguintes axiomas:
# Reflexividade
#:<math>\forall n\in\mathbb{N},\ n=n</math>
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#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ (n=m)\cap(m=l)\Rightarrow(n=l)</math>
Estas declarações
==== Ordenação numa relação de equivalência ====
Associada a esta relação de equivalência esta uma ordenação destes axiomas adicionais verificar se são satisfeitas:
# Tricotomia
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==== Propriedades da adição ====
O conjunto <math>\mathbb{N}</math> e a operação de adição <math>+\ </math> satisfazem os seguintes axiomas:
# Fechamento
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# Monotonicidade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ (n<m)\Rightarrow n+l<m+l </math>
Significa que se acrescentarmos dois números naturais o resultado é um número natural. A ordem em que acrescentar os números não são importantes e se eu adicionar dois números naturais, a soma é maior do que qualquer deles. Este é o nosso conceito de adição de números positivos simplificado para as premissas básicas. Há apenas mais um pressuposto necessário para trazer os números naturais como os conhecemos, de um modo bem definido, o conjunto dos números naturais não é vazio. Podemos nomear o:
* menor elemento dos <math>\mathbb{N}</math> o número 1.
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==== Propriedades da multiplicação ====
Sobre os números naturais, podemos definir um segundo operador, a multiplicação <math>\times</math>. O conceito de multiplicação sobre <math>\mathbb{N}</math> é simplesmente uma abreviação para a adição repetida. Aqui estão os axiomas da multiplicação.
# Fechamento
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# Monotonicidade
#: <math> m<n \Rightarrow m \times p < n \times p </math>
Significa que os números naturais quando multiplicados entre si dão números naturais. Qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo. Os dois últimos dizem como a multiplicação se comporta em relação à adição e à ordenação sobre <math>\mathbb{N}</math>. Sempre escrevendo <math>n\times m</math> para multiplicação é entediante, por isso a abreviaremos como <math>nm\ </math>. Além disso, abreviaremos também uma produto repetido de um determinado número com um índice, indicando a contagem do número de vezes em que o número é repetido por exemplo
:<math>n\times n\equiv n^2\ </math>
=== Axiomas de Peano
Suplente derivação do '''conjunto de números naturais'''; pode ser caracterizado por alguns axiomas chamado de '''Peano''' ou '''axiomas de Peano Dedekind '''. Uma ligeira modificação das definições de adição e multiplicação nos axiomas de Peano construiria um conjunto diferente, onde o elemento "0" a ser descrita poderia ser efetivamente algum número natural diferente de 0. Estes axiomas podem, assim, servir como a definição do conjunto de números naturais.
#<math>\exists0\in\mathbb{N}_0</math>
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#: O sucessor de um elemento é único.
#<math> (0 \in A) \and (x \in A) \implies ( S_x \in A ) \implies \mathbb {N}_0 \subset A </math>
#: '''[
Um '''número natural''' pode ser definido como um elemento do conjunto dos números naturais. Estes axiomas podem ser usados para provar muitas teoremas importantes sobre operações básicas e predicados, que são adição, multiplicação e ordem. Adição e multiplicação são muito importantes operadores binários, e a ordenação é um importante binário predicado. Eles podem ser definidos como segue:
==== Ordenação ====
*:<math>S_y > y\ </math>
*: O sucessor de um número y é maior do que o número y
*:<math>x >y \implies S_x>y</math>
*: Se x é um número maior do que um número y então o sucessor de x é maior do que y
==== Adição ====
*:<math>x+0=x\ </math>
*: A soma de qualquer número com zero e retorna o próprio número
*:<math>x+S_y=S_{x+y}\ </math>
*: A soma de um número x com o sucessor de um número y é o sucessor da soma de x e y
==== Multiplicação ====
*:<math>x\times 0=0</math>
*: O produto de um número com zero é zero
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Não é necessário conhecer estas definições para saber o que adição, multiplicação e ordenação significam. No entanto, estas definições mostram como é possível construir adição, multiplicação e ordenação dos axiomas de Peano.
==== Construções alternativa de adição e multiplicação ====
O elemento básico não tem necessariamente de ser uma identidade para adição. Com efeito, se as definições de adição e multiplicação, foram definidas de maneira diferente, em seguida, o elemento básico é comumente escrito "1".
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#:Adicionando 1 de um modo único
#<math>(1\in A)\and(x\in A)\implies (x+1)\in A\implies \mathbb{N}\subset A </math>
#:'''[
▲=== Axiomas de Zermelo-Fraenkel ===
Os números naturais também podem ser construídos a partir de conjuntos. Este não é um passo necessário, e pode ser ignorada, mas demonstra que definida a teoria, temos uma base suficiente para explicar os números naturais. O '''Axioma de Zermelo Fraenkel''' proporciona condições suficientes para um conjunto que satisfaça o '''Axioma de Peano'''.
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