Análise real/Integral de Riemann: diferenças entre revisões

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: portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B
* o sup se mostra analogamente
 
=== Corolário ===
Sejam <math> f,g:[a,b]\mapsto\mathbb{R} </math> limitadas. Então <math>sup(f+g) \le sup(f) + sup(g) \; e \; inf(f+g) \ge inf(f) + inf(g) </math>
 
==== Demonstração ====
Se <math> A = f([a,b]), \; B = g([a,b])</math>, então <math> C = \{ f(x) + g(x) ; x \in [a,b] \} \subset A + B </math>
: pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Propriedades_dos_n%C3%BAmeros_reais#Teorema_.28Ordena.C3.A7.C3.A3o_dos_Sups_e_Infs.29 | teorema]] <math> inf(A+B) \le inf(C) \le sup(C) \le sup(A+B) </math> e pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_3 | lema 3]] temos
:: <math> sup(f+g) = sup(C) \le sup (A + B) = sup(A) + sup(B) = sup(f) + sup(g)</math>
:: <math> inf(f+g) = inf(C) \ge inf (A + B) = inf(A) + inf(B) = inf(f) + inf(g)</math>
 
=== Teorema 2 ===
Sejam <math> c \in [a,b], f:[a,b]\mapsto \mathbb{R} </math> limitada, então <math> \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = \underline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underline {\int}_{c}^{b} f(x)dx </math>;
<math> \underlineoverline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = \underlineoverline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underlineoverline {\int}_{c}^{b} f(x)dx </math>
 
==== Demonstração ====
*Sejam <math> A = \{ \underline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} </math>
** <math> A + B = \{ \underline{S}(f/[a,c],P)+\underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \underline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \} </math>
***pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_2_.28soma_conservada_no_refinamento.29 | lema 2]] e pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_3 | lema 3]] temos
**** <math> \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = sup(A+B) = sup(A) + sup (B) = \underline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underline {\int}_{c}^{b} f(x)dx </math>
*Sejam <math> A = \{ \overline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} </math>
** <math> A + B = \{ \overline{S}(f/[a,c],P)+\overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \overline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \} </math>
***pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_2_.28soma_conservada_no_refinamento.29 | lema 2]] e pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_3 | lema 3]] temos
**** <math> \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = inf(A+B) = inf(A) + inf (B) = \overline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \overline {\int}_{c}^{b} f(x)dx </math>