Análise real/Integral de Riemann: diferenças entre revisões
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=== Corolário ===
Sejam <math> f,g:[a,b]\mapsto\mathbb{R} </math> limitadas. Então
*(a) <math> sup(f+g) \le sup(f) + sup(g) *(b) ==== Demonstração ====
Se <math> A = f([a,b]), \; B = g([a,b])</math>, então <math> C = \{ f(x) + g(x) ; x \in [a,b] \} \subset A + B </math>
: pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Propriedades_dos_n%C3%BAmeros_reais#Teorema_.28Ordena.C3.A7.C3.A3o_dos_Sups_e_Infs.29 | teorema]] <math> inf(A+B) \le inf(C) \le sup(C) \le sup(A+B) </math> e pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_3 | lema 3]] temos
::(a) <math> sup(f+g) = sup(C) \le sup (A + B) = sup(A) + sup(B) = sup(f) + sup(g)</math>
::(b) <math> inf(f+g) = inf(C) \ge inf (A + B) = inf(A) + inf(B) = inf(f) + inf(g)</math>
=== Teorema 2 ===
Sejam <math> c \in [a,b], f:[a,b]\mapsto \mathbb{R} </math> limitada, então
*(a)<math> \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = \underline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underline {\int}_{c}^{b} f(x)dx </math> *(b)<math> \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = \overline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \overline {\int}_{c}^{b} f(x)dx </math>
==== Demonstração ====
*(a)Sejam <math> A = \{ \underline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} </math>
** <math> A + B = \{ \underline{S}(f/[a,c],P)+\underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \underline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \} </math>
***pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_2_.28soma_conservada_no_refinamento.29 | lema 2]] e pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_3 | lema 3]] temos
**** <math> \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = sup(A+B) = sup(A) + sup (B) = \underline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underline {\int}_{c}^{b} f(x)dx </math>
*(b)Sejam <math> A = \{ \overline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} </math>
** <math> A + B = \{ \overline{S}(f/[a,c],P)+\overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \overline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \} </math>
***pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_2_.28soma_conservada_no_refinamento.29 | lema 2]] e pelo [[pt:An%C3%A1lise_real/%C3%8Dndice/Integral_de_Riemann#Lema_3 | lema 3]] temos
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=== Lema 4 ===
Seja <math>
* (a)Se c> 0, então <math> c \cdot A = \{ c.x \in A'; c\cdot M \le c\cdot x \le c\cdot N \} </math>
**Assim: <math> sup(c \cdot A) = c\cdot sup(A) \; e \; inf(c \cdot A) = c\cdot inf(A) </math>▼
* Se c< 0, então <math> c \cdot A = \{ c.x \in A'; c\cdot M \ge c\cdot x \ge c\cdot N \} </math>▼
**Assim: <math> sup(c \cdot A) = c\cdot sup(A) \; e \; inf(c \cdot A) = c\cdot inf(A) </math>
▲* (b)Se c< 0, então <math> c \cdot A = \{ c.x \in A'; c\cdot M \ge c\cdot x \ge c\cdot N \} </math>
▲**Assim: <math> sup(c \cdot A) = c\cdot
==== Demonstração ====
*(a)
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