Teoria de números/Congruências: diferenças entre revisões
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+teoria e exemplos |
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Linha 194:
:'''Recordando...'''
:Um anel com unidade é um conjunto ''R'' equipado com duas operações binárias + : ''R'' × ''R''
:* (''R'', +) é um grupo abeliano com elemento identidade, isto é, para todo ''a'', ''b'', ''c'' em ''R'', vale o seguinte:
Linha 201:
:** ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' (+ é comutativa)
:** para cada ''a'' em ''R'' existe −''a'' em ''R'' tal que ''a'' + (−''a'') = (−''a'') + ''a'' = 0 (−''a'' é o elemento inverso de ''a'')
:* (''R'',
:** (''a''
:** 1
:* Multiplicação se distribui em relação a adição:
:** ''a''
:** (''a'' + ''b'')
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Linha 443:
* O valor <math>\phi (m)\,\!</math> é justamente a quantidade de números de <math>1\,\!</math> a <math>m\,\!</math> que são coprimos com <math>m\,\!</math>:
{{Demonstração|
De fato, se <math>\bar{x} \in U_m \,\!</math>, então existe <math>\bar{y} \in U_m \,\!</math> tal que <math>\bar{x} \bar{y} = \overline{xy} = \bar{1} \,\!</math>, ou seja, <math>xy \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math>. Isso significa que <math>xy=1+nk\,\!</math>, ou seja, que <math>xy + m(-k)=1 \,\!</math>. Segue que <math>(x,m)=1\,\!</math>.
Reciprocamente, se <math>(x,m)=1\,\!</math>, então <math>xy + mz =1 \,\!</math> (teorema de Bézout). Logo, <math>xy \equiv 1 \!\!\!\!\pmod{m} \,\!</math> e consequentemente, <math>\bar{x} \bar{y} = \bar{1} \,\!</math>. Neste caso, <math>\bar{x} \in U_m \,\!</math>.
}}
=== Exemplos ===
* Quando <math>p\,\!</math> é um número primo, tem-se <math>\phi (p) = p-1\,\!</math>.
* Por outro lado, para números compostos, <math>\phi (m)\,\!</math> pode ser bem menor do que <math>m-1\,\!</math>. Em particular, <math>\phi (6) = | U_6 | = | \{ \pm \bar{1}\} | = 2 < 5-1 = 4\,\!</math>.
=== Curiosidades ===
O valor de <math>\phi (m)\,\!</math> é justamente a quantidade de frações próprias não negativas com denominador <math>m\,\!</math> (ou seja, <math>\frac{0}{m}, \frac{1}{m} , \ldots, \frac{m-1}{m}\,\!</math>) que já estão na forma irredutível.
====Exemplo====
No caso <math>m = 6\,\!</math> apresentado anteriormente, temos as seguintes frações próprias com tal denominador:
:<math>\frac{0}{6}, \mathbf{\frac{1}{6}}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \mathbf{\frac{5}{6}}\,\!</math>
Escrevendo cada uma delas na forma irredutível obtém-se:
:<math>\frac{0}{1}, \mathbf{\frac{1}{6}}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \mathbf{\frac{5}{6}}\,\!</math>
Pode-se então conferir que, como era esperado, só duas das frações já estavam em sua forma irredutível: <math>\frac{1}{6}\,\!</math> e <math>\frac{5}{6}\,\!</math>.
Note que ao escrever cada fração em sua forma irredutível os denominadores que surgem são todos divisores de <math>m = 6\,\!</math>. Além disso, tem-se:
* 1 fração com denominador 1
* 1 fração com denominador 2
* 2 fração com denominador 3
* 2 fração com denominador 6
Totalizando <math>1+ 1 + 2 + 2 = 6\,\!</math> frações. Por outro lado, a seguinte tabela indica um fato muito interessante:
:{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!width="40px"| d || Número de frações com denominador d ||width="40px"| <math>\phi (d)\,\!</math>
|-
! 1
| 1 || 1
|-
! 2
| 1 || 1
|-
! 3
| 2 || 2
|-
! 6
| 2 || 2
|}
Percebe-se que as duas últimas colunas coincidem. Mas o que isso significa?
Isso quer dizer que o número <math>m = 6\,\!</math> é, na verdade, igual a soma dos valores <math>\phi (d)\,\!</math> de cada um dos divisores <math>d\,\!</math>. Em símbolos:
:<math>6 = 1+ 1 + 2 + 2 = \phi (1) + \phi (2) + \phi (3) + \phi (6)\,\!</math>
Pode-se verificar que essas duas propriedades são válidas em geral:
* <math>\phi (m)\,\!</math> é igual à quantidade de frações próprias não negativas com denominador que estão na forma irredutível.
* <math>m = \sum_{d|m} {\phi (d)} \,\!</math>
{{demonstração}}
Linha 454 ⟶ 505:
# Que propriedade aritmética do número inteiro <math>m\,\!</math> corresponde a existência de elementos nilpotentes em <math>\mathbb{Z}_m\,\!</math>? (Lembre-se, um elemento é nilpotente quando alguma de suas potências inteiras é igual a zero)
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[[en:Number Theory/Congruences]]
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