Álgebra linear/Autovetores: diferenças entre revisões

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'''Definição''':
<div style="text-align:center; border: 1px solid #8C1717; padding: 0.3em; -moz-border-radius: 25px">
<div style="text-align:center; border: 1px solid #97694F; padding: 0.3em8em; -moz-border-radius: 20px">
Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K., Ume vetorseja não'''T''' nuloum dooperador linear sobre '''V'''.
espaçoUm vetorialvetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math>
<math>\lambda \in K</math> tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> é dito '''autovalor''' de '''T'''.
é dito autovalor de t.
</div></div>
 
* Um significado prático:
** Os autovetores são vetores que, quandosob aplicadosa numaação de um funçãooperador Transformaçãolinear, resultaresultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estarãoestão sempre dependentesligados aao funçãooperador Transformação.linear, Ouou seja, para cada funçãooperador específicalinear existiráadmite um conjunto específico de autovetores.
** Quando os autovetores aplicados a uma função Transformação resultar num vetor de mesma direção, acontece que esse resultado é um escalar vezes o próprio vetor, por isso às vezes é chamado vetor próprio. Esse escalar é um valor constante, e sempre estará ligado a um autovetor, por isso o chamamos de autovalor.
* Para cada autovalor <math>\lambda</math>, existem infinitos autovetores <math>v</math> tais que <math>T(v) = \lambda v</math>. Dizemos que esses são ''autovetores associados ao autovalor <math>\lambda</math>''.
** Cada função Transformação contém uma base de autovetores, e cada autovetor têm um autovalor associado a ele.
 
'''Prove''':
 
Linha 38:
<div style="text-align:center; border: 1px solid #97694F; padding: 0.3em; -moz-border-radius: 20px">
'''Definição''': Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''.
O polinômio <math>p(\lambda) = \det(A - \lambda I)</math> é chamado de
polinômio característico de '''A'''.
</div></div>
'''Prove''':
 
* Seja <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> uma base de '''V''', e '''v''' um autovetor de '''T''' associado ao autovalor <math>\lambda</math>. Então <math>[v]_\alpha</math> é um autovetor da matriz <math> [T]_\alpha</math> associado ao autovalor <math>\lambda</math> de <math> [T]_\alpha</math>
* Se <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> são duas bases quaisquer de '''V''', então o polinômio característico de <math> [T]_\alpha</math> é igual ao polinômio característico de <math> [T]_\beta</math>.