Álgebra linear/Autovetores: diferenças entre revisões

 

'''Definição''':

Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K, e seja '''T''' um operador linear sobre '''V'''.

Um vetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math>

tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> é dito '''autovalor''' de '''T'''.

 

Um significado prático:

 

'''Definição''':

Um autovalor de uma matriz <math>A_{n\times n}</math> é um escalar

<math>\lambda \in K</math> tal que existe um vetor '''X''', com <math>AX = \lambda X</math>,

onde X é chamado de autovetor de A associado a <math>\lambda</math>.

<math>X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math>

 

==Polinômio característico==

'''Definição''': Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''.

O polinômio <math>p(\lambda) = \det(A - \lambda I)</math> é chamado de

polinômio característico de '''A'''.

'''Prove''':

 

 

'''Definição''':

Um operador '''T''' é dito ''diagonalizável'' se existir uma base

<math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> de '''V''' tal que <math>[T]_\alpha</math> é uma

matriz diagonal.

'''Definição''':

Duas matrizes quadradas de mesma ordem, '''A''' e '''B''', são ditas

''semelhantes'' se existir uma matriz '''P''', de mesma ordem, inversível, tal que

<math>B = P^{-1}AP</math>.

'''Definição''':

Uma matriz <math>A_n</math> é dita ''diagonalizável'' se <math>A_n</math> for

semelhante a uma matriz diagonal '''D''' (ou seja, existe uma matriz P,

inversível, tal que <math>D = P^{-1}AP</math>).

'''Prove''':