Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas: diferenças entre revisões

 

'''Definição''':

Uma função ''g'' do produto cartesiano <math>V \times V \rightarrow K</math> (onde ''V'' é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo ''K'') é dita '''bilinear''' se, <math>\forall u, v, w \in V, \lambda \in K</math>:

 

* <math>g(u, v + w) = g(u, v) + g(v, w)</math>

* <math>g(u, \lambda v) = \lambda g(u, v)</math>

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;Exemplos:

 

===Formas bilineares simétricas===

Uma forma bilinear <math>g: V \times V \rightarrow K</math> é dita '''simétrica''' se <math>g(u, v) = g(v, u)</math>

'''Proposição''': <math>g: V \times V \rightarrow K</math> é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de ''V''.

 

==Formas quadráticas==

Dada uma forma bilinear simétrica <math>g: V \times V \rightarrow K</math>, dizemos que a função <math>f: V \rightarrow K</math>, definida por <math>f(v) = g(v, v)</math>, é a '''forma quadrática''' associada à forma bilinear ''g''.

 

Note que: