Teoria de números/Divisibilidade: diferenças entre revisões
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{{Demonstração/Início}}
Utilizando o algoritmo da divisão é possível obter cada dígito de uma tal representação, um após o outro, começando pelo dígito das unidades. De fato, ao dividir o número em questão pelo valor da base, consegue-se:
:<math>a = q_0 b + a_0\,\!</math>
Fazendo o mesmo com <math>q_0\,\!</math>, resulta:
:<math>q_0 = q_1 b + a_1\,\!</math>
Repetindo o procedimento com cada quociente <math>q_i\,\!</math>, será construída uma sequência decrescente:
:<math>a > q_0 > q_1 > q_2 > \ldots \,\!</math>
Certamente algum termo da sequência deve ser igual a unidade, pois todos são números inteiros e nenhum deles é negativo. Então considere que <math>q_n = 1\,\!</math>, ou seja, que o algoritmo da divisão fornece <math>q_{n-1} = 1 \cdot b + 0\,\!</math>. Neste ponto o processo pode ser interrompido, e nota-se que:
:{|
|-
|<math>a\,\!</math>
|<math>= q_0 b + a_0\,\!</math>
|
|-
|
|<math>=(q_1 b + a_1)b + a_0\,\!</math>
|<math>=q_1\cdot b^2 + a_1\cdot b^1 + a_0\,\!</math>
|-
|
|<math>=((q_2 b + a_2) b + a_1)b + a_0\,\!</math>
|<math>=q_2\cdot b^3 + a_2\cdot b^2 + a_1\cdot b^1 + a_0\,\!</math>
|-
|
|<math>\vdots\,\!</math>
|
|-
|
|<math>=(( ??? ) b + a_1)b + a_0\,\!</math>
|<math>=a_n\cdot b^n + \ldots + a_2\cdot b^2 + a_1\cdot b^1 + a_0\,\!</math>
|}
{{esboço}}
{{Demonstração/Fim}}
=== Observações ===
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