Análise real/Continuidade: diferenças entre revisões

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== Definição (Continuidade em um Conjunto) ==
 
Seja <math>D \subset \mathbb{R}</math> e <math>f:D\to\mathbb{R}\,</math>. Dizemos que <math>f</math> é contínuiacontínua em <math>A \subset D</math> se <math>f</math> é contínua em <math>x_0</math>, para todo <math>x_0 \in D</math>.
 
==Exemplos==
 
* A função identidade <math>f(x) = x</math> é contínua em toda a reta,. deDe fato, dado <math>\epsilon > 0</math> e <math>x_0</math> real, tomando <math>\delta = \epsilon</math>, temos que, se <math>|x - x_0| < \delta = \epsilon</math>.
 
* A função quadrado <math>f(x) = x^2</math> também é contínua em toda a reta.
'''Demonstração'''
 
Dado <math>\epsilon > 0</math>, e <math>x_0</math> real, temos
:<math>|x^2 - (x_0)^2| = |x + x_0||x - x_0|</math>.
Como estamos trabalhando com <math>x</math> próximo de <math>x_0</math>, temos
 
Como estamos trabalhando com <math>x</math> próximo de <math>x_0</math>, temos :<math>|x + x_0| < C</math>, para algum <math>C</math> real.
Definindo <math>\delta = \epsilon/C</math>, se
:<math>|x - x_0| < \delta \Rightarrow |x - x_0| < \epsilon/C \Rightarrow |x + x_0||x - x_0| < C|x - x_0| < \epsilon</math>.
Portanto <math>f</math> é contínua em <math>x_0</math>, para todo <math>x_0</math> real.
 
 
* A função <math>f(x)= x^n\,</math> é contínua em toda a reta para qualquer natural '''n'''.
<br>
'''Demonstração'''
 
Fixemos um ponto <math>x_0\in\mathbb{R}\,</math> e <math>\varepsilon>0\,</math>, e procedemos com a fatoração da potência:
:<math>f(x)-f(x_0) = x^n-x_0^n = (x-x_0)\sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-k-1}</math>
Definamos, agora,
:<math>\delta=\min\left[\frac{\varepsilon}{ n(|x_0|+1)^{n-1}},1\right]</math>
Por definição, <math>\delta\leq 1\,</math> , portanto, se <math>\left|x-x_0\right|<\delta\,</math>, temos:
:<math>|x|= |x_0 + (x-x_0)|\leq |x_0|+|x-x_0|\leq |x_0|+\delta \leq |x_0|+1\,</math>
Assim:
:<math>\left|f(x)-f(x_0)\right| = \left|(x-x_0)\sum_{k=0}^{n-1} x^kx_0^{n-k-1}\right| \leq \delta \sum_{k=0}^{n-1} |x^k|\cdot |x_0|^{n-k-1}\leq \varepsilon</math>
 
== Proposição (Operação com funções Contínuas) ==