Álgebra linear/Matrizes: diferenças entre revisões
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Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra <math>k</math>.
==Multiplicação por um escalar==
A multiplicação é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.
{{Definição|texto=
Para multiplicar um número <math>k</math> qualquer por uma matriz n×m <math>A</math>, basta multiplicar cada entrada <math>a_{ij}</math> de <math>A</math> por <math>k</math>. Assim, a matriz resultante <math>B</math> será também n×m e <math>b_{ij} = k \cdot a_{ij}</math>.
}}
Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;Exemplo:
: <math>2
1 & -5 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2\times 9 & 2\times 1 & 2\times (-2) \\
2\times 1 & 2\times (-5) & 2\times 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
18 & 2 & -4 \\
2 & -10 & 6
\end{bmatrix}
</math>
}}
É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.
A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:
* Associativa em relação ao Escalar: <math>(k_1 \cdot k_2) \cdot A = k_1 \cdot (k_2 \cdot A)</math>
* Distributiva em relação ao Escalar: <math>(k_1 + k_2) \cdot A = k_1 \cdot A + k_2 \cdot A</math>
* Distributiva em relação à Matriz: <math>k_1 \cdot (A + B) = k_1 \cdot A + k_1 \cdot B</math>
* Elemento Neutro: <math>1 \cdot A = A</math>
==Adição de Matrizes==
A adição de matrizes é outra operação bastante simples.
{{Definição|texto=
Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos <math>c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}</math>.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;Exemplo:
<math>
\begin{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 & -2 & 5
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
5 & 6 & 5 \\
2 & 5 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+5 & 8+6 & -3+5 \\
4+2 & -2+5 & 5+7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
6 & 14 & 2 \\
6 & 3 & 12
\end{bmatrix}
</math>
}}
Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.
A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:
* Propriedade Associativa: <math>A + (B + C) = (A + B) + C</math>
* Elemento Neutro: <math>A + 0 = 0 + A = 0</math> (<math>0</math> é uma Matriz Nula, não um escalar)
* Simétrico Aditivo: <math>-A + A = A - A = 0</math>
* Comutatividade: <math>A + B = B + A</math>
==Multiplicação de Matrizes==
A '''multiplicação''' de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.
{{Definição|texto=
Se <math>A</math> é uma matriz <math>m \times n</math> e <math>B</math> é uma matriz <math>n \times p</math>, então seu '''produto''' <math>AB</math> é a matriz <math>m \times p</math> (''m'' linhas e ''p'' colunas) dada por:
:<math> (AB)_{i,j} = A_{i,1} B_{1,j} + A_{i,2} B_{2,j} + \cdots + A_{i,n} B_{n,j} \!\ </math> para cada par <math>(i, j)</math>.
}}
A motivação dessa definição é a seguinte: se <math>\beta_i</math> denota a <math>i</math>-ésima linha da matriz <math>B</math>, podemos criar outra matriz <math>C</math> cujas linhas <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_m</math> sejam combinações lineares das linhas de <math>B</math>:
:<math>\gamma_1 = A_{1,1} \beta_1 + A_{1,2} \beta_2 + \cdots + A_{1,n} \beta_n</math>
::<math>\vdots</math>
:<math>\gamma_m = A_{m,1} \beta_1 + A_{m,2} \beta_2 + \cdots + A_{m,n} \beta_n</math>
Em cada linha <math>\gamma_i</math>, a entrada na <math>j</math>-ésima coluna será uma combinação linear de todas as entradas de <math>B</math> nessa mesma coluna:
:<math>(\gamma_i)_j = A_{i,1} (\beta_1)_j + A_{i,2} (\beta_2)_j + \cdots + A_{i,n} (\beta_n)_j</math>,
mas <math>(\beta_i)_j</math> corresponde a <math>B_{i,j}</math>. Então, se <math>A</math> for a matriz com as entradas <math>A_{i,j}</math> definidas como acima, obtemos a fórmula acima.
Da mesma maneira, se <math>\alpha_j</math> denota a <math>j</math>-ésima coluna da matriz <math>A</math>, podemos criar uma matriz <math>C</math> cujas colunas <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_p</math> sejam combinações lineares das colunas de <math>A</math>:
:<math>\gamma_j = B_{1,j} \alpha_1 + B_{2,j} \alpha_2 + \cdots + B_{n,j} \alpha_n</math>
E, tomando as entradas na <math>i</math>-ésima linha, obtemos
:<math>(\gamma_j)_i = B_{1,j} (\alpha_1)_i + B_{2,j} (\alpha_2)_i + \cdots + B_{n,j} (\alpha_n)_i</math>
Mas a <math>(\alpha_j)_i</math>, a <math>i</math>-ésima entrada à linha <math>\alpha_j</math>, corresponde ao elemento <math>A_{i,j}</math>, de modo que também obtemos a fórmula acima.
Portanto,
{{CaixaMsg|tipo=revisão|texto=
A matriz <math>AB</math>
* tem como linhas combinações lineares das linhas de <math>B</math>, cujos coeficientes são dados em cada linha de <math>A</math>;
* tem como colunas combinações lineares das colunas de <math>A</math>, com coeficientes dados em cada coluna de <math>B</math>.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=text-align:left; width:75%; margin-left: 0px; border:1px solid #aaa;|texto=
;Exemplo:
: <math>
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}
\times
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
(1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\
(-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2 \\
\end{bmatrix}
</math>
}}
=== Propriedades ===
A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:
* Associativa:
*:<math>(AB)C = A(BC)</math>
* Distributiva em relação à Adição:
*:<math>(A + B)C = AC + BC</math>
* Elemento Neutro: se <math>A</math> é uma matriz <math>m \times n</math>, então
*:<math>I_m A = A I_n = A</math>, onde <math>I_n</math> representa a matriz identidade de ordem <math>n</math>.
Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se <math>AB \neq BA</math>. Em muitos dos casos, a multiplicação <math>BA</math> pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação <math>AB</math>, a multiplicação <math>BA</math> só pode existir no caso em que <math>A</math> e <math>B</math> são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade.
==
{{Definição|texto=
A operação de transposição de uma matriz <math>A</math> retorna como resultado sempre um matriz <math>B</math> tal que, para todo elemento de <math>A</math> e <math>B</math>, <math>a_{ij} = b_{ji}</math>.
<math>B</math> é então dita a '''matriz transposta''' de <math>A</math>, denotada por <math>A^t</math>.
}}
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|style=align:left; width:75%; border:none; clear:center; margin-left: 0px;|texto=
;Exemplo:
<math>
\begin{bmatrix}
3 & 1 \\
2 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}^t
=
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
</math>
}}
* O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se <math>A</math> era <math>m \times n</math>, <math>A^t</math> será <math>n \times m</math>.
* Cada coluna de <math>A</math> corresponderá a uma linha de <math>A^t</math>, e vice-versa.
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|[[../Transformações elementares sobre linhas/]]
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