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Álgebra linear/Espaços vetoriais: diferenças entre revisões

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{{Navegação|[[../|Índice]]
|[[../AxiomasEspaços e exemplosvetoriais/]]
|[[../DependênciaSubespaços linearvetoriais/]]
}}
 
=== Definição= ==
Um ''espaço vetorial'' é formado por:
# Um conjunto <math>V</math>, cujos elementos serão chamados de ''vetores'';
# Um corpo <math>F</math>, cujos elementos serão denominados ''escalares'';
# Uma operação <math>+:V \times V \to V</math>, conhecida como ''adição de vetores'';
# Uma operação <math>*:K \times V \to V</math>, chamada de ''multiplicação por escalar''.
 
Neste wikilivro, será escrito simplesmente <math>\alpha v</math> para denotar <math>\alpha * v</math>.
<div style="text-align:center; border: 1px solid #8C1717; padding: 0.3em; -moz-border-radius: 25px">
<div style="text-align:left; border: 1px solid #97694F; padding: 1.0em; -moz-border-radius: 20px">
Seja <math>V</math> um espaço vetorial sobre o corpo <math>K</math>. Um ''subespaço vetorial'' de <math>V</math> é um subconjunto <math>W</math> que também é um espaço vetorial sobre <math>K</math>, com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de <math>V</math>.
 
{{Definição|texto=
Equivalentemente, um subespaço vetorial de <math>V</math> é um subconjunto <math>W</math> fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que
#Dizemos Para todosque <math>u,V</math> vé \inum W''espaço vetorial'' sobre <math>K</math> tem-sequando as operações <math>u+v</math> \ine W<math>*</math>; satisfazem as seguintes propriedades:
# Para qualquer escalar <math>\lambda \in K</math> e para todo <math>u \in W</math> tem-se <math>\lambda u \in W</math>.
</div></div>
 
;Adição
# Para cada <math>u, v \in V</math>, <math>u+v\ =\ v+u</math> ([[w:Comutatividade|comutatividade]])
# Para cada <math>u, v, w \in V</math>, <math>(u+v)+w\ =\ u+(v+w)</math> ([[w:Associatividade|associatividade]])
# Existe um vetor <math>0</math>, tal que para cada <math>u\in V</math>, <math>0+u\ =\ u</math> ([[w:Elemento neutro|neutro aditivo]])
# Para cada <math>u \in V</math>, existe <math>-u \in V</math> tal que <math>u+(-u)\ =\ 0</math> ([[w:Elemento inverso|inverso aditivo]])
;Multiplicação por escalar
# Para cada <math>\alpha \in F</math> e cada <math>u, v \in V</math>, <math>\alpha (u+v)\ =\ \alpha u+\alpha v</math> ([[w:Distributividade|distributividade]])
# Para cada <math>\alpha, \beta \in F</math> e cada <math>u \in V</math>, <math>( \alpha + \beta ) u\ =\ \alpha u + \beta u</math> ([[w:Distributividade|distributividade]])
# Para cada <math>\alpha, \beta \in F</math> e cada <math>u \in V</math>, <math>( \alpha \beta ) u\ =\ \alpha (\beta u) </math> ([[w:Associatividade|associatividade]])
# Para cada <math>u \in V</math>, <math>1u\ =\ u</math> ([[w:Elemento neutro|neutro multiplicativo]])
}}▼
 
{{stubmatematica}}
 
{{CaixaMsg|tipo=exemplo|texto=
;Exemplos:
 
# <math>V</math> é subespaço de <math>V</math>.
# <math>\{ 0 \}</math> é subespaço de <math>V</math>.
# Se <math>V_1</math> e <math>V_2</math> são subespaços vetoriais do espaço vetorial <math>V</math>, então a interseção <math>V_1 \cap V_2</math> é um espaço vetorial de <math>V</math>.
'''Observação'''
 
Os dois primeiros subespaços são chamados de ''subespaços triviais de <math>V</math>''.
▲}}
 
{{Navegação|[[../|Índice]]
|[[../AxiomasEspaços e exemplosvetoriais/]]
|[[../DependênciaSubespaços linearvetoriais/]]
}}
 
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[[Categoria:Espaços vetoriais|{{SUBPAGENAME}}]]
 
[[en:Linear Algebra/Vector Spaces]]
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