Álgebra linear/Espaços vetoriais: diferenças entre revisões
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=== Definições ===
{{Definição|texto=
: <math>\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = u</math>
}}
{{Definição|texto=
Seja <math>S</math> um subconjunto de <math>V</math>. Dizemos que <math>S</math> é '''linearmente dependente''' se existem vetores distintos <math>v_1, \ldots, v_n \in V</math> e escalares <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K</math>, não todos nulos, tais que
: <math>\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0</math>
Ou seja, <math>S</math> é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo.
Quando <math>S</math> não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de <math>S</math> que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que <math>S</math> é '''linearmente independente'''.
}}
Quando temos um número finito de vetores <math>v_1, \ldots, v_n</math>, é comum dizer que ''os vetores'' <math>v_1, \ldots, v_n</math> são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto <math>S = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> é linearmente dependente (ou independente).
=== Propriedades ===
* Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
* Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
* Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
* Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
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