Álgebra linear/Espaços vetoriais: diferenças entre revisões

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|[[../Espaços vetoriais/]]
|[[../Subespaços vetoriais/]]
|[[../Espaço gerado/]]
}}
 
== DefiniçãoDependência linear ==
Um ''espaço vetorial'' é formado por:
# Um conjunto <math>V</math>, cujos elementos serão chamados de ''vetores'';
# Um corpo <math>F</math>, cujos elementos serão denominados ''escalares'';
# Uma operação <math>+:V \times V \to V</math>, conhecida como ''adição de vetores'';
# Uma operação <math>*:K \times V \to V</math>, chamada de ''multiplicação por escalar''.
 
=== Definições ===
Neste wikilivro, será escrito simplesmente <math>\alpha v</math> para denotar <math>\alpha * v</math>.
 
{{Definição|texto=
Dizemos que Seja <math>V</math> é um ''espaço vetorial'' sobre um corpo <math>K</math>. quandoUm as operaçõesvetor <math>+u \in V</math> eé dito '''combinação linear''' dos vetores <math>*v_1, \ldots, v_n \in V</math> satisfazemse asexistem seguintesescalares propriedades:<math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K</math> tais que
: <math>\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = u</math>
}}
 
 
{{Definição|texto=
Seja <math>S</math> um subconjunto de <math>V</math>. Dizemos que <math>S</math> é '''linearmente dependente''' se existem vetores distintos <math>v_1, \ldots, v_n \in V</math> e escalares <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K</math>, não todos nulos, tais que
: <math>\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n = 0</math>
Ou seja, <math>S</math> é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo.
 
Quando <math>S</math> não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de <math>S</math> que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que <math>S</math> é '''linearmente independente'''.
;Adição
# Para cada <math>u, v \in V</math>, <math>u+v\ =\ v+u</math> ([[w:Comutatividade|comutatividade]])
# Para cada <math>u, v, w \in V</math>, <math>(u+v)+w\ =\ u+(v+w)</math> ([[w:Associatividade|associatividade]])
# Existe um vetor <math>0</math>, tal que para cada <math>u\in V</math>, <math>0+u\ =\ u</math> ([[w:Elemento neutro|neutro aditivo]])
# Para cada <math>u \in V</math>, existe <math>-u \in V</math> tal que <math>u+(-u)\ =\ 0</math> ([[w:Elemento inverso|inverso aditivo]])
;Multiplicação por escalar
# Para cada <math>\alpha \in F</math> e cada <math>u, v \in V</math>, <math>\alpha (u+v)\ =\ \alpha u+\alpha v</math> ([[w:Distributividade|distributividade]])
# Para cada <math>\alpha, \beta \in F</math> e cada <math>u \in V</math>, <math>( \alpha + \beta ) u\ =\ \alpha u + \beta u</math> ([[w:Distributividade|distributividade]])
# Para cada <math>\alpha, \beta \in F</math> e cada <math>u \in V</math>, <math>( \alpha \beta ) u\ =\ \alpha (\beta u) </math> ([[w:Associatividade|associatividade]])
# Para cada <math>u \in V</math>, <math>1u\ =\ u</math> ([[w:Elemento neutro|neutro multiplicativo]])
}}
 
 
Quando temos um número finito de vetores <math>v_1, \ldots, v_n</math>, é comum dizer que ''os vetores'' <math>v_1, \ldots, v_n</math> são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto <math>S = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> é linearmente dependente (ou independente).
 
 
=== Propriedades ===
 
* Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
* Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
* Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
* Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
 
 
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