Wikilivros

Álgebra abstrata/Números naturais: diferenças entre revisões

Explorar interativamente o histórico
(Ver alterações pendentes à versão publicada)
[edição não verificada][edição não verificada]
← Edição anteriorEdição posterior →
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
VisualTexto wiki
ajustes
m ajustes
Linha 19:
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N},\ n=m\Leftrightarrow m=n</math>
# Transitividade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ (n=m)\capand(m=l)\Rightarrow(n=l)</math>
 
Estas declarações matematicamente concisas podem ser descritas em uma forma menos rigorosa. A primeira declaração afirma simplesmente que cada número natural é igual a si próprio. A segunda afirma que a declaração da igualdade é válida independentemente da ordem em que você diga isso. A última declaração diz que quando dois números naturais são iguais e um deles é igual a qualquer outra coisa pode-se concluir que os três são iguais. Estas são as premissas simples que fazemos quando falamos informalmente de igualdade. Esta pequena lista dá-nos uma forma de verificar se uma certa "igualdade" satisfaz nossas expectativas do que significa dizer que duas coisas são iguais.
Linha 25:
==== Ordenação numa relação de equivalência ====
 
AssociadaA a estaessa relação de equivalência estaestá associada uma ordenação. destesIsso axiomassignifica adicionaisque, verificar seadicionalmente, são satisfeitasválidas as seguintes propriedades:
# Tricotomia
#:<math>\forall m,n\in\mathbb{N}</math> uma e só uma das seguintes afirmações é válida
Linha 31:
#:<math>m=n\ </math>
#:<math>m>n\ </math>
#: Nós denotamos <math>(m<n)\or(m=n)</math> como <math>m\le n</math>. eAnalogamente, denotamos <math>(m>n)\or(m=n)</math> como <math>m\ge n</math>
# Transitividade de <math><\ </math>, <math>>\ </math> e <math>=\ </math>.
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ (n< m)\and(m\le l)\Rightarrow(n< l)</math>
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ (n> m)\and(m\ge l)\Rightarrow(n> l)</math>
 
Menos formalmente isso significa que dados quaisquer dois números naturais ou são eles são iguais ou maioresentão doum númerodeles que(e podesomente serum) exclusivamenteé escolhidoo maior dos dois. Se háfor considerado um terceiro número, que é maior do que o maior dos nossos dois primeiros, emele seguida,também éserá maior do que o menor comodos umdois bemprimeiros. Com isto, agora temos uma definição concisa do que significa paradizer osque nossosos números depossuem teruma um fimordenação.

Finalmente, osaos números naturais <math>\mathbb{N}</math> dispõeestá deassociada uma operação associada chamada adição.
 
 
==== Propriedades da adição ====
Linha 48 ⟶ 51:
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ n+(m+l)=(n+m)+l</math>
#:Significa que podemos inequivocamente escrever <math>n+m+l</math>
# Boa ordenação
# Bem Ordenado
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N},\ n<n+m</math>
# Lei do corte (ou cancelamento)
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N},\ m+n=m+p \Rightarrow n=p</math>
# Tricotomia
Linha 57 ⟶ 60:
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ (n<m)\Rightarrow n+l<m+l </math>
 
SignificaEssas quepropriedades significam o seguinte: se acrescentarmos dois números naturais o resultado é um número natural. A ordem em que acrescentaré osfeita a adição de dois números não sãoé importantesimportante e se eu adicionar dois números naturais, a soma é maior do que qualquer deles. Este é o nosso conceito de adição de números positivos simplificado para as premissas básicas. Há apenas mais um pressuposto necessário para trazer à uma existência bem definida os números naturais como os conhecemos, de um modo bem definido,: o conjunto dos números naturais não é vazio. Podemos nomear o: menor elemento de <math>\mathbb{N}</math> como sendo o número 1.
* menor elemento dos <math>\mathbb{N}</math> o número 1.
:<math>\exists 1\in\mathbb{N}:1\le n,\ \forall n\in\mathbb{N}</math>
 
Esta declaração apenas diz que 1 existe e é inferior ou igual a qualquer outro número natural. Com estes pressupostos, poderemos ir em frente e derivar todas as propriedades que derivam dosde <math>\mathbb{N}</math>.
 
 
==== Propriedades da multiplicação ====
 
Sobre os números naturais, podemos definir um segundo operador, a multiplicação <math>\times</math>. O conceito de multiplicação sobre <math>\mathbb{N}</math> é simplesmente uma abreviação para a adição repetida. Aqui estão os axiomas da multiplicação.
# Fechamento
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N},\ n\times m\in\mathbb{N}</math>
Linha 76 ⟶ 80:
# Distributividade
#:<math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ n\times (m+l)=n\times m+n\times l</math>
# Boa ordenação
# Bem ordenado
#:<math>\forall n,m\in\mathbb{N},\ m\le n\times m</math>
# Lei do corte (ou cancelamento)
#: <math>\forall n,m,l\in\mathbb{N},\ (n\times l = m \times l) \implies (n=m) </math>
# Monotonicidade
#: <math> m<n \Rightarrow m \times p < n \times p </math>
 
SignificaO queprimeiro osaxioma númerosdiz naturaisque quandoo multiplicadosresultado entreda simultiplicação dãoentre dois números naturais é também um número natural. QualquerOutro deles indica que qualquer número multiplicado por 1 é ele mesmo. Os dois últimos dizem como a multiplicação se comporta em relação à adição e à ordenação sobre <math>\mathbb{N}</math>. Escrever Sempre escrevendosempre <math>n\times m</math> para multiplicação é entediante, por isso a abreviaremos como <math>nm\ </math>. Além disso, abreviaremos também umarepetidos produto repetidoprodutos de um determinadomesmo número comusando um índice, indicandologo a contagemacima do número, deindicando quantas vezes em que o númeromesmo é repetido. porPor exemplo:
:<math>n\times n\equiv n^2\ </math>
 
Obtido em "https://pt.wikibooks.org/wiki/Álgebra_abstrata/Números_naturais"