Análise real/Integral de Riemann: diferenças entre revisões

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* Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos.

 

* Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.

* Por ser 0<y<f(x), temos que <math>f(x)>0; \forall x \in \mathbb{R}</math>.

 

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* Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)

 

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=== Relações entre partição e subpartição ===

Sejam <math> f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} </math> limitada e as partições <math>P_{k-1} \mbox{, Q cujo } Q = P_{k-1} \cup \{c\} </math>

: <math> \underline{S}(f;P_{k-1}) \le \underline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;Q) \le \overline{S}(f;P_{k-1}) </math>.

==== Teorema 1====

 

 

===== Demonstração =====

Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos <math> \underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;P \cup Q) \mbox{ e }\overline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P) </math>. Como <math> \underline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P \cup Q) \Rightarrow \underline{S}(f;P) \le \underline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P \cup Q) \le \overline{S}(f;P) </math>.

 

Seja <math> f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \mbox{ limitada e } P^*</math> todas as partições de [a,b]

*<math> \underline {\int}_{a}^{b} f(x)\, dx = \mbox{ sup }\underline{S}(f;P^*) </math> é a integral inferior de f

* (a) Se <math> A = \{a \in A \}, B = \{ b \in B\} </math>, então <math> A+B = \{a+b; a\in A, B \in B\} </math>

* (b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B

* Dado <math> a \in A, b \in B, temos \; a \ge inf A, b \ge inf B \Rightarrow a+b \ge inf A + inf B </math>.

: Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B,

Seja <math> f:[a,b] \mapsto \mathbb{R} </math>

 

==== Demonstrações ====