Álgebra abstrata/Homomorfismo e automorfismo


Homomorfismo

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Definição 1: Sejam   dois monóides(ou grupos). Uma aplicação   é chamada homomorfismo se, e somente se:

 

Definição 2: Um homomorfismo   é dito

  • monomorfismo se  
  • epimorfismo se  
  • isomorfismo se φ for inversível e sua inversa for um homomorfismo

Observação: no contexto da teoria dos grupos, basta mostrar:

  • Seja   tal que  . Então φ é um homomorfismo.
Prova:
 , logo  

Outro resultado importante (para grupos) é que  . A prova é imediata, pela unicidade do elemento inverso.

  • Seja φ um homomorfismo em que  . Então φ é um monomorfismo
Prova:
Sejam x e y elementos distintos tais que  . Então x-1 ≠ y-1, logo 1 = x x-1≠ x y-1. Mas  , o que prova (por redução ao absurdo) o resultado desejado.