Álgebra abstrata/Homomorfismo e automorfismo

Homomorfismo

Definição 1: Sejam $(M,p,1),(M',p',1')\;$ dois monóides(ou grupos). Uma aplicação $\phi :M\mapsto M'\;$ é chamada homomorfismo se, e somente se:

$\phi (1)=1',\phi (xy)=\phi (x)\phi (y),\;x,y\in M\;$

Definição 2: Um homomorfismo $\phi :M\mapsto M'\;$ é dito

• monomorfismo se $\phi (x)=\phi (y)\implies x=y\,$
• epimorfismo se $\forall u\in M'\exists x\in M,\phi (x)=u\,$
• isomorfismo se φ for inversível e sua inversa for um homomorfismo

Observação: no contexto da teoria dos grupos, basta mostrar:

• Seja $\phi :G\to H\,$ tal que $\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)\,$. Então φ é um homomorfismo.

Prova:

$\phi (x)=\phi (1x)=\phi (1)\phi (x)\,$, logo $\phi (1)=1'\,$

Outro resultado importante (para grupos) é que $\phi (x^{-1})=\phi (x)^{-1}\,$. A prova é imediata, pela unicidade do elemento inverso.

• Seja φ um homomorfismo em que $\phi ^{-1}(\{1'\})={1}\,$. Então φ é um monomorfismo

Prova:

Sejam x e y elementos distintos tais que $\phi (x)=\phi (y)\,$. Então x^-1 ≠ y^-1, logo 1 = x x^-1≠ x y^-1. Mas $\phi (xy^{-1})=\phi (x)\phi (y)^{-1}=1'\,$, o que prova (por redução ao absurdo) o resultado desejado.