Álgebra linear/Formas bilineares e quadráticas

Formas bilineares

Definição

Uma função g do produto cartesiano $V\times V\rightarrow K$ (onde V é um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K) é dita bilinear se, $\forall u,v,w\in V,\lambda \in K$:

• $g(u+v,w)=g(u,w)+g(v,w)$
• $g(\lambda u,v)=\lambda g(u,v)$
• $g(u,v+w)=g(u,v)+g(u,w)$
• $g(u,\lambda v)=\lambda g(u,v)$

Matriz associada a uma forma bilinear

Sejam $g:V\times V\rightarrow K$ uma forma bilinear, e $\alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}$ uma base de V. Sejam X e Y dois vetores de V, sob a forma de matriz coluna:

$X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},Y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}$

Então:

$g(X,Y)=X^{t}AY\,$,

onde A é a matriz associada à forma bilinear g.

A matriz A é dada por:

${\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}$

onde $a_{ij}=f(v_{i},v_{j})\,$

Formas bilineares simétricas

Definição

Uma forma bilinear $g:V\times V\rightarrow K$ é dita simétrica se $g(u,v)=g(v,u)$

Proposição: $g:V\times V\rightarrow K$ é uma forma bilinear simétrica se, e somente se, a matriz associada à forma bilinear é simétrica em qualquer base de V.

Formas quadráticas

Definição

Dada uma forma bilinear simétrica $g:V\times V\rightarrow K$, dizemos que a função $f:V\rightarrow K$, definida por $f(v)=g(v,v)$, é a forma quadrática associada à forma bilinear g.

Note que:

• $f(u+v)=f(u)+2g(u,v)+f(v)$
• $f(\lambda v)=\lambda ^{2}f(v)$

Fórmulas de polarização

As fórmulas de polarização permitem que, dada a forma quadrática f, se descubra a forma bilinear g que a originou. Eis duas dessas fórmulas:

• $g(u,v)={\frac {1}{4}}\left(f(u+v)-f(u-v)\right)$
• $g(u,v)={\frac {1}{2}}\left(f(u+v)-f(u)-f(v)\right)$