Álgebra linear/Matrizes

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Crystal Clear app kaddressbook.png Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: É preciso fixar a notação para as entradas das matrizes ao longo do livro, pois ora são usadas e ora para as entradas de uma matriz .

IntroduçãoEditar

O termo matriz pode ser mais conhecido entre programadores e profissionais da informática, como sendo uma estrutura de dados. Em matemática, no entanto, matrizes são consideradas de forma bastante diferente.

Definição

Intuitivamente, uma matriz é uma lista de números, dispostos em linhas e colunas, ou seja, é um tipo de tabela.

Logo abaixo, apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum.

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Matriz
 

A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 × 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A forma de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (m por n, quando m é o número de linhas e n é o número de colunas). A seguir são indicados alguns outros exemplos de matrizes, adotando outras possíveis notações.

Este é um exemplo de matriz 3 × 3:

 

Esta matriz tem a forma 5 × 4:

 

Aqui, tem-se uma matriz 1 × 6:

 

As matrizes são objetos matemáticos que além de permitirem uma boa organização espacial de conjuntos de dados numéricos, podem ser operadas com números (multiplicação por escalar) e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear.

Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz.

 
Organização de uma matriz

Exemplos de matrizesEditar

A matriz a seguir é uma matriz de ordem 2×3 com elementos naturais.

 

Nesse exemplo, o elemento   é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

De forma geral, numa matriz A de ordem m × n, o elemento   é o símbolo na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim:.

 

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo,   para   de 1 a 3 e   de 1 a 2, define a matriz 3×2  

Abaixo, vemos o exemplo de uma Matriz Quadrada:

 

E agora um exemplo de uma Matriz Identidade:

 

Abaixo seguem informações sobre as principais operações definidas para matrizes. Abaixo matrizes serão representadas por letras maiúsculas e seus índices por letras minúsculas. Números escalares serão representados pela letra  

Tipos especiais de matrizesEditar

  • Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual   Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas.
  • Uma Matriz Linha é toda aquela na qual   Isto é, ela possui apenas uma linha.
  • Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual   Isto é, ela possui apenas uma coluna.
  • Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual   e cujo elemento   se   Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal.
  • Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual   cujo elemento   se   e   Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor.
  • Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos   Isto é, se todos os seus elementos forem nulos.
  • Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual   cujos elementos   se   e   se   Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1.

Álgebra matricialEditar

Multiplicação por um escalarEditar

A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes.

Definição

Para multiplicar um número   qualquer por uma matriz m×n   basta multiplicar cada entrada   de   por   Assim, a matriz resultante   será também m×n e  

Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso desse número. Mas essa noção pode ser perigosa: enquanto a multiplicação entre um número e uma matriz pode ser dita "comutativa", o mesmo não vale para a divisão, pois não se pode dividir um número por uma matriz.

É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes.

A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades:

  • Associativa em relação ao Escalar:  
  • Distributiva em relação ao Escalar:  
  • Distributiva em relação à Matriz:  
  • Elemento Neutro:  

Adição de MatrizesEditar

A adição de matrizes é outra operação bastante simples.

Definição

Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos  

Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida.

A adição de matrizes possui as seguintes propriedades:

  • Propriedade Associativa:  
  • Elemento Neutro:   (  é uma Matriz Nula, não um escalar)
  • Simétrico Aditivo:  
  • Comutatividade:  

Multiplicação de MatrizesEditar

A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita.

Definição

Se   é uma matriz   e   é uma matriz   então seu produto   é a matriz   (m linhas e p colunas) dada por:

  para cada par  

A motivação dessa definição é a seguinte: se   denota a  -ésima linha da matriz   podemos criar outra matriz   cujas linhas   sejam combinações lineares das linhas de  

 
 
 

Em cada linha   a entrada na  -ésima coluna será uma combinação linear de todas as entradas de   nessa mesma coluna:

 

mas   corresponde a   Então, se   for a matriz com as entradas   definidas como acima, obtemos a fórmula acima.

Da mesma maneira, se   denota a  -ésima coluna da matriz   podemos criar uma matriz   cujas colunas   sejam combinações lineares das colunas de  

 

E, tomando as entradas na  -ésima linha, obtemos

 

Mas a   a  -ésima entrada à linha   corresponde ao elemento   de modo que também obtemos a fórmula acima.

Portanto,


PropriedadesEditar

A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades:

  • Associativa:
     
  • Distributiva em relação à Adição:
     
  • Elemento Neutro: se   é uma matriz   então
      onde   representa a matriz identidade de ordem  

Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se   Em muitos dos casos, a multiplicação   pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação   a multiplicação   só pode existir no caso em que   e   são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade.

TransposiçãoEditar

Definição

A operação de transposição de uma matriz   retorna como resultado sempre um matriz   tal que, para todo elemento de   e       é então dita a matriz transposta de   denotada por  

  • O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se   era     será  
  • Cada coluna de   corresponderá a uma linha de   e vice-versa.

NotasEditar

  1. Para saber mais sobre o surgimento das matrizes, pode ser consultado este site.

Ver tambémEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Matriz (matemática)