Seja V um espaço vetorial corpo K . Em V , pode-se definir a função
⟨
⋅
,
⋅
⟩
:
V
×
V
→
K
{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow K}
produto interno ), que satisfaz os seguintes axiomas:
⟨
u
,
v
⟩
=
⟨
v
,
u
⟩
¯
{\displaystyle \langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}}
⟨
u
+
v
,
w
⟩
=
⟨
u
,
w
⟩
+
⟨
v
,
w
⟩
{\displaystyle \langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle }
⟨
λ
u
,
v
⟩
=
λ
⟨
u
,
v
⟩
{\displaystyle \langle \lambda u,v\rangle =\lambda \langle u,v\rangle }
Se
v
≠
0
{\displaystyle v\neq 0}
⟨
v
,
v
⟩
{\displaystyle \langle v,v\rangle }
0
{\displaystyle 0}
em que u , v e w são vetores de V , e λ é um elemento de K .
A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:
⟨
u
,
v
+
w
⟩
=
⟨
u
,
v
⟩
+
⟨
u
,
w
⟩
{\displaystyle \langle u,v+w\rangle =\langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle }
⟨
u
,
λ
v
⟩
=
λ
¯
⟨
u
,
v
⟩
{\displaystyle \langle u,\lambda v\rangle ={\overline {\lambda }}\langle u,v\rangle }
Se
v
=
0
{\displaystyle v=0}
⟨
v
,
v
⟩
=
0
{\displaystyle \langle v,v\rangle =0}
Se
⟨
v
,
v
⟩
=
0
{\displaystyle \langle v,v\rangle =0}
v
=
0
{\displaystyle v=0}
O produto escalar
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
⟨
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
⟩
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
+
z
1
z
2
{\displaystyle \langle (x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2})\rangle =x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}
Se f e g são duas funções contínuas em um intervalo fechado, é possível definir o produto interno:
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x){\overline {g(x)}}\,dx}
Diz-se que dois vetores
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
ortogonais se
⟨
u
,
v
⟩
=
0
{\displaystyle \langle u,v\rangle =0}
Consequências (prove!):
Se
⟨
u
,
v
⟩
=
0
,
∀
v
∈
V
{\displaystyle \langle u,v\rangle =0,\forall v\in V}
u
=
0
{\displaystyle u=0}
Se
⟨
T
(
u
)
,
v
⟩
=
0
,
∀
u
,
v
∈
V
{\displaystyle \langle T(u),v\rangle =0,\forall u,v\in V}
T
=
0
{\displaystyle T=0}
Seja
v
∈
V
,
v
≠
0
{\displaystyle v\in V,v\neq 0}
Define-se o complemento ortogonal de v ,
v
⊥
{\displaystyle v^{\perp }}
v
⊥
=
{
v
}
⊥
=
{
u
∈
V
|
⟨
u
,
v
⟩
=
0
}
.
{\displaystyle v^{\perp }=\{v\}^{\perp }=\{u\in V|\langle u,v\rangle =0\}.}
Consequências (prove!):
v
⊥
{\displaystyle v^{\perp }}
Seja
W
{\displaystyle W}
α
=
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle \alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}
W
{\displaystyle W}
v
∈
W
⊥
⟺
v
∈
v
i
⊥
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle v\in W^{\perp }\iff v\in v_{i}^{\perp },i=1,\ldots ,n}
(
W
⊥
)
⊥
=
W
{\displaystyle (W^{\perp })^{\perp }=W}
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K , com produto interno.
Define-se a norma ou comprimento de um vetor
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
⟨
v
,
v
⟩
{\displaystyle {\sqrt {\langle v,v\rangle }}}
|
v
|
{\displaystyle |v|}
Consequências (prove!):
|
v
|
=
0
⟺
v
=
0
{\displaystyle |v|=0\Longleftrightarrow v=0}
Se
v
≠
0
{\displaystyle v\neq 0}
|
v
|
>
0
{\displaystyle |v|>0}
|
λ
v
|
=
|
λ
|
|
v
|
,
∀
λ
∈
K
,
v
∈
V
{\displaystyle |\lambda v|=|\lambda ||v|,\forall \lambda \in K,v\in V}
Se
⟨
u
,
v
⟩
=
0
{\displaystyle \langle u,v\rangle =0}
|
u
+
v
|
2
=
|
u
|
2
+
|
v
|
2
{\displaystyle |u+v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}}
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Define-se essa projeção como sendo o vetor
proj
u
v
=
⟨
v
,
u
⟩
⟨
u
,
u
⟩
⋅
u
{\displaystyle {\mbox{proj}}_{u}v={\frac {\langle v,u\rangle }{\langle u,u\rangle }}\cdot u}
v sobre um subespaço vetorial W de V
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Seja
W
=
[
u
1
,
u
2
]
{\displaystyle W=[u_{1},u_{2}]}
{
u
1
,
u
2
}
{\displaystyle \{u_{1},u_{2}\}}
W .
proj
W
v
=
proj
u
1
v
+
proj
u
2
v
{\displaystyle {\mbox{proj}}_{W}v={\mbox{proj}}_{u_{1}}v+{\mbox{proj}}_{u_{2}}v}
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
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Dados
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
|
⟨
u
,
v
⟩
|
≤
|
u
|
⋅
|
v
|
{\displaystyle |\langle u,v\rangle |\leq |u|\cdot |v|}
Desigualdade triangular
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|
u
+
v
|
≤
|
u
|
+
|
v
|
,
∀
u
,
v
∈
V
{\displaystyle |u+v|\leq |u|+|v|,\forall u,v\in V}
Base ortogonal e ortonormal
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Uma base
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}
⟨
v
i
,
v
j
⟩
=
δ
i
j
{\displaystyle \langle v_{i},v_{j}\rangle =\delta ij}
δ
i
j
=
1
{\displaystyle \delta ij=1}
δ
i
j
=
0
{\displaystyle \delta ij=0}
A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois.
v1.v2=0
Propriedade: n vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n , são linearmente independentes.
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Dada uma base
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}
{
u
1
,
u
2
,
…
,
u
n
}
{\displaystyle \{u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\}}
u
i
=
v
i
−
∑
k
=
1
i
−
1
⟨
v
i
,
u
k
⟩
⟨
u
k
,
u
k
⟩
u
k
{\displaystyle u_{i}=v_{i}-\sum _{k=1}^{i-1}{\frac {\langle v_{i},u_{k}\rangle }{\langle u_{k},u_{k}\rangle }}u_{k}}
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Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, u e v , como sendo
d
(
u
,
v
)
=
|
u
−
v
|
{\displaystyle d(u,v)=|u-v|}
Uma função distância tem as seguintes propriedades:
d
(
u
,
v
)
≥
0
{\displaystyle d(u,v)\geq 0}
d
(
u
,
v
)
=
0
⇔
u
=
v
{\displaystyle \quad d(u,v)=0\Leftrightarrow u=v}
d
(
u
,
v
)
=
d
(
v
,
u
)
{\displaystyle d(u,v)=d(v,u)}
d
(
u
,
v
)
≤
d
(
u
,
w
)
+
d
(
w
,
v
)
{\displaystyle d(u,v)\leq d(u,w)+d(w,v)}
Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.
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Se
d
(
v
,
u
)
≤
d
(
v
,
u
′
)
,
∀
u
′
∈
W
{\displaystyle d(v,u)\leq d(v,u'),\forall u'\in W}
Demonstra-se que
u
=
p
r
o
j
W
v
{\displaystyle u=proj_{W}v}
Wikipedia
![{\displaystyle W=[u_{1},u_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b518617711bcb6111d25c7103cf92c733d40bbe6)
