Álgebra linear/Produto interno

Em Álgebra linear, chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na geometria euclidiana, é um caso especial de produto interno.

DefiniçãoEditar

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Em V, pode-se definir a função binária   (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:

 
 
 
Se  , então  >  

em que u, v e w são vetores de V, e λ é um elemento de K.

A partir desses axiomas, é possível provar as seguintes consequências:

 
 
Se  , então  
Se  , então  

ExemplosEditar

O produto escalar sobre o espaço vetorial   satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:

 

Se f e g são duas funções contínuas em um intervalo fechado, é possível definir o produto interno:

 

Vetores ortogonaisEditar

Diz-se que dois vetores   são ortogonais se  .

Consequências (prove!):

Se  , então  
Se  , então  

Complemento ortogonalEditar

Seja  

Define-se o complemento ortogonal de v,  , como:

 

Consequências (prove!):

  é um subespaço vetorial de V
Seja   um subespaço vetorial de V, e   uma base de  .  
 , W é subespaço de V.

NormaEditar

Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K, com produto interno. Define-se a norma ou comprimento de um vetor   como sendo o número  , que indicamos por  .

Consequências (prove!):

 
Se  , então  
 
Se  , então   (Teorema de Pitágoras)

Projeção ortogonalEditar

Projeção de um vetor v na direção de um vetor u, em que u ≠ 0Editar

Define-se essa projeção como sendo o vetor

 

Projeção de um vetor v sobre um subespaço vetorial W de VEditar

Seja  , em que   é uma base ortogonal de W.

 

Desigualdade de Cauchy-SchwarzEditar

Dados  , então  

Desigualdade triangularEditar

 

Base ortogonal e ortonormalEditar

Uma base   de V é dita ortonormal se  , em que

 , se i = j
 , se i ≠ j

A base é ortogonal se os vetores são ortogonais dois a dois.

v1.v2=0

Propriedade: n vetores não-nulos e ortogonais dois a dois, em um espaço de dimensão n, são linearmente independentes.

Processo de ortogonalização de Gram-SchmidtEditar

Dada uma base   de V, podemos encontrar, a partir desta base, uma base ortogonal   de V.

 

Distância entre dois vetoresEditar

Define-se a distância entre dois vetores quaisquer, u e v, como sendo  

Uma função distância tem as seguintes propriedades:

 
 
 
 

Tais propriedades podem ser facilmente verificadas pela definição de norma.

Melhor aproximação de um vetor v de V por um vetor de W, subespaço vetorial de VEditar

Se  , então u é o vetor de W que dá a aproximação mais adequada de v por um vetor de W.

Demonstra-se que  

Ver tambémEditar

A Wikipédia tem mais sobre este assunto:
Produto interno