Análise real/Cardinalidade

Subconjunto Editar

Um subconjunto importante dos naturais é o   para algum  .

  • Exemplo: Caso exista uma bijeção entre A e  , então A possui 5 elementos.

Conjuntos finitos e infinitosEditar

Um conjunto A é finito quando assume uma das opções abaixo:

  • quando ele é vazio. (Neste caso o conjunto não têm elementos)
  • quando existe uma bijeção entre   e  . (Neste caso o conjunto têm n elementos)
    • escreve-se  .

Concluímos que:

  • todo conjunto   é finito.
  • Que uma função bijeção entre dois conjuntos finitos ocorre somente quando eles possuem a mesma quantidade de elementos, aí dizemos que eles possuem a mesma cardinalidade. (De forma geral, se existe uma bijeção entre dois conjuntos, eles possuem a mesma cardinalidade, podendo eles serem infinitos).
  • Numa bijeção, se um conjunto é finito, o outro também o é ou se um não for finito o outro também não é.
  • Seja A um conjunto não vazio. Se existe   e uma função injetiva   diremos que A é finito, caso contrário, A é infinito.
  • O menor número n que verifica esta propriedade é dito número de elementos de A. Escrevemos  . Diremos também que o conjunto vazio é finito e que seu número de elementos é 0.

Cardinalidade de um conjuntoEditar

  •  : significa Cardinalidade de A. Caso A seja finito,   é a quantidade de elementos de um conjunto finito A.
Definição: Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Dizemos que A e B têm a mesma cardinalidade ou que a cardinalidade de A é igual à de B e escrevemos  , se existe uma bijeção  .
  • Caso contrário dizemos que eles não têm a mesma cardinalidade ou que suas cardinalidades são diferentes e escrevemos  .
Exemplo:  

ExemploEditar

Prove que o conjunto dos Naturais e dos Pares Naturais têm a mesma cardinalidade.

Prova:

  • Basta exibirmos uma função bijetiva entre os dois. Assim tome  
  • Injetividade:  
  • Sobrejetividade: Dado  , devemos mostrar que existe  . Assim Tomemos  .

Exemplo2Editar

Prove que um conjunto X com n elementos pode ser ordenado de n! modos.

Prova(Por indução):

  • Devemos mostrar que é válido para quando   (A ordenação é única).
  • Como fica quando  ; Pode ser ordenado como:  , isto é   vezes.
    • Acontece que o termo   foi colocado antes do termo   e depois do termo  . Então para cada opção que tinhamos antes ficou duplicada.
  • Como fica quando  ; Pode ser ordenado como:  , isto é 3! = 6 vezes.
    • Aconteceu para cada opção que tinhamos antes com 2 elementos foi triplicada com a inserção de um terceiro elemento.
    • Sendo que no primeiro o termo   foi inserido, antes, entre e depois dos termos em   e depois antes, entre e depois dos termos em  .
  • Suponha ser válida para quando  , existem   modos de ordenar.
  • Devemos mostrar que para quando  , existem   modos de ordenar esses   elementos.
    • Como para k elementos existem k! modos de ordenar, então para cada uma delas existem k+1 maneiras de ordenar com o k+1-ésimo elemento.
    • Assim dado uma sequência com k elementos:  , teremos  , onde o elemento   vai sendo colocado entre as posições dos elementos, antes e depois, resultando em k+1 lugares para ser colocados em k! elementos, resultando em   possibilidades
  • Logo um conjunto com X com k+1 elementos, pode ser ordenado em k+1! modos.

Exemplo3Editar

Proposição: Se um conjunto X tem n elementos e possui t subconjuntos, o conjunto   tem n+1 elementos e possui 2t subconjuntos.
Teorema: Um conjunto com n elementos possui   subconjuntos

Prova(indução sobre n):

  • Um conjunto com 1 elemento possui   subconjuntos, no caso de  , teremos os subconjuntos  
  • Um conjunto com 2 elementos possui   subconjuntos, no caso de  , teremos os subconjuntos  
    • Ou seja, foram inseridos os subconjuntos   ao inserir o elemento  .
  • Um conjunto com 3 elementos possui   subconjuntos, no caso de  , teremos os subconjuntos  
    • Ou seja, foram inseridos os subconjuntos   ao inserir o elemento  .
  • Vamos supor válido para quando n = k, ou seja, um conjunto com k elementos têm   subconjuntos.
  • Devemos mostrar válido para quando n = k+1, isto é, um conjunto com k elementos têm   subconjuntos:
    • Um conjunto com k elementos tem   subconjuntos. Ao inserir o elemento  a quantidade de subconjuntos vai dobrar(segundo a proposição), assim um conjunto com k+1 elementos têm   subconjuntos.

Prova (Triângulo de Pascal)

  • um conjunto com n elementos tem   subconjuntos
  • um conjunto com 0 elementos tem   subconjunto
  • um conjunto com 1 elementos tem   subconjuntos
  • um conjunto com 2 elementos tem   subconjuntos
  • um conjunto com 3 elementos tem   subconjuntos

...

  • um conjunto com k elementos tem   subconjuntos
  • onde o   é a quantidade de conjuntos nulo, que no caso é sempre 1
  • onde o   é quantidade de conjuntos unitários
  • onde o   é a quantidade de conjuntos formados de 2 elementos
  • onde o   é a quantidade de conjuntos formados com n-1 elementos
  • onde o   é a quantidade de conjuntos com n elementos, que no caso é sempre 1

Relações e exemplos de cardinalidadeEditar

  • Sejam A e B conjuntos não vazios.
    • Se existe função injetiva  , então dizemos que a cardinalidade de A é menor ou igual à de B e escrevemos  .
    • Se existe uma função sobrejetiva  , então dizemos que a cardinalidade de A é maior ou igual a de B e escrevemos  .
    • Se  , então escrevemos   (lê-se a cardinalidade de A é menor que a de B).
    • Analogamente, se  , então escrevemos   (lê-se a cardinalidade de A é maior que a de B).
Feita esta definição, temos que   é enumerável se, e somente se,  .
Exemplo: Seja A um conjunto não vazio. É evidente que   pois a função identidade   dada por   é uma bijeção.
Exemplo: Sejam A e B dois conjuntos não vazios com  . Obviamente   pois a função   dada por   é injetiva.

PROPOSIÇÃO 1Editar

Uma função   é injetiva se, e somente se, existe uma função   que seja sobrejetiva.”
  • Para provar essa proposição, fazemos em separado:
Tomemos por hipótese que   é injetiva. Vamos provar que   que é sobrejetiva.
  •  , não sabemos se  
  • Assim vamos considerar que  
    • Se ocorresse que  , teríamos que   e assim essa g é sobrejetiva.
  • Vamos tomar  . Assim, construamos  . Ao tomarmos  .
  • Assim, se  , logo  , fixemos  , um elemento arbitrário, tal que  .
  • Da forma que construímos g,  , ou seja, g é sobrejetiva.
    • Com efeito, se   teríamos   ou seja,  , que é uma contradição. Mas se  , que é uma contradição, logo  .
    • Também, se   teríamos  , que é uma contradição, logo  .
Tomemos por hipótese   é uma função sobrejetiva. Vamos provar que qualquer   é injetiva.
  • Suponha que exista uma  , de forma que f não seja injetiva.
  • Pela não-injetividade da f, existem  
  • Mas, se acontecesse que, dado  , g não seria uma função.
  • Portanto f é injetiva.

PROPOSIÇÃO 2Editar

Prove que uma função   é invertível se, e somente se, f é bijetiva.”
Prova
  • Vamos tomar por hipótese que   é invertível.
    • Uma função f é invertível se existe outra função g tal que   para todo x em A e y em B.
    • Por g ser uma função,  
    • Observando que dado qualquer y em B, existe um único x, tal que f(x) = y, nos diz que f é sobrejetiva e g é injetiva.
    • Observando que dado qualquer x em A, existe um único y, tal que g(y) = x, nos diz que g é sobrejetiva e f é injetiva.
    • Logo f e g são bijetivas.

TEOREMA =Editar

TEOREMA De Cantor1-Bernstein2-Schroder3)
Se   e  , então  .

Prova:

  • Considere  
    • Como   temos que   só pode ser definida se  
    • Como   temos que   só pode ser definida se  
  • Portanto  

Propriedades importantes dos conjuntos finitosEditar

Teorema (Bijeção sobre um subconjunto)Editar

Seja  . Se existir uma bijeção   então  .

ProvaEditar

  •  
  • Como f é bijetiva   
  • Logo  

Corolário (unicidade numa bijeção)Editar

Se existir uma bijeção   então  . Consequentemente, se existem duas bijeções   e  , logo  .

ProvaEditar

  • Pela bijeção de f,  
  • Pela bijeção de f,  

Corolário (bijeção sobre uma parte própria)Editar

Não pode existir uma   de um conjunto finito sobre uma parte própria  

ProvaEditar

Teorema (Propriedades de um subconjunto)Editar

Se   é um conjunto finito então todo subconjunto   é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X.

ProvaEditar

CorolárioEditar

Seja   uma função injetora. Se Y for finito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.

ProvaEditar

TeoremaEditar

Seja X e Y conjuntos finitos, então   é finito e tem-se que  
Prova
  • Primeiro vamos mostrar que  
    •  
    •  . Podemos somar porque a união é disjunta.
  • Assim  
  • Assim  
  • Logo  
  •