Análise real/Conjunto de Funções

Conjunto de Funções

Dados dois conjuntos A e B, denotamos por F(A;B) o conjunto de todas as funções $f:A\mapsto B$.

Família de Funções

Sejam I e C conjuntos não vazios. Uma família $(A_{i})_{i\in I}$ de elementos de C é uma função $A:I\mapsto C$ para a qual denotamos por $A_{i}$ (em vez de $A(i)$) a imagem de i por A. Dizemos que a família está indexada pelo índice $i\in I$, que I é o conjunto de índices e que $A_{i}$ é o i-ésimo elemento (ou membro) da família. Quando I é o conjunto dos números naturais substituímos a palavra família por sequência.

Os gramáticos que nos perdoem, mas usamos o sufixo “ésimo” em i-ésimo mesmo quando i não é um número cardinal.

Observe que na notação $(A_{i})_{i\in I}$ não aparece o contradomínio C da função. Por isto, ao introduzirmos uma família, é obrigatório dizer que tipo de objetos constituem o seu contradomínio. Por exemplo, uma família de pessoas é uma função cujo contradomínio é um conjunto de pessoas. Da mesma forma, uma família de macacos é uma função cujo contradomínio é um conjunto de macacos (agora são os biólogos que hão de nos perdoar).

Como dito anteriormente, o uso mais frequente do termo família é quando o contradomínio é uma coleção de conjuntos. Trata-se, então, de uma família de conjuntos. Neste caso, existem notações especiais para a união e a interseção da coleção. Se $(A_{i})_{i\in I}$ é uma família de conjuntos, então a união e a interseção da família são definidas, respectivamente, por $\bigcup _{i\in I}A_{i}=\{x;\exists i\in I,{\mbox{ tal que }}x\in A_{i}\}$ e $\bigcap _{i\in I}A_{i}=\{x;x\in A_{i}\forall i\in I\}$

Exemplo. Sejam $A_{i}=(i,i+1){\mbox{ e }}A_{i}=(-i^{2}-1,i^{2})$. Então: $\bigcup _{i\in \mathbb {Q} }A_{i}=\mathbb {R} ,\bigcap _{i\in \mathbb {Q} }B_{i}=(-1,0),\bigcap _{i\in \mathbb {Q} }A_{i}=\varnothing ,\bigcup _{i\in \mathbb {Q} }B_{i}=\mathbb {R} ,\bigcup _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}=\mathbb {R} -\mathbb {Z}$.

Se I é o conjunto dos números inteiros de m até n, então também é usual escrever $\bigcup _{i=m}^{n}A_{i}=A_{m}\cup ...\cup A_{n}{\mbox{ e }}\bigcap _{i=m}^{n}A_{i}=A_{m}\cap ...\cap A_{n}$.

Se I é o conjunto de todos os inteiros positivos, então as notações usuais são $\bigcup _{i=m}^{\infty }A_{i}=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup ...{\mbox{ e }}\bigcap _{i=m}^{\infty }A_{i}=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap ...$.

O símbolo $\infty$ (infinito) que aparece nas notações anteriores não é um número. Ele é apenas um símbolo tipográfico cujo papel é dizer que tanto a união quanto a interseção da família $(A_{i})_{i\in I}$ são tomadas para todo $i\in \{1,2,3,...\}$. Este mesmo símbolo aparecerá em várias notações ao longo do texto sendo que em cada uma delas seu papel será diferente.

Porém, sempre devemos ter em mente que infinito não é número!

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