Análise real/Derivadas


DefiniçãoEditar

Estamos agora prontos para definir a derivada de uma função.

Seja  , e seja  . Dizemos que   é diferenciável em   se, e somente se, existir   tal que

 .

  é dita a derivada de   em   e é denotada por  .

A função é dita diferenciável no conjunto   se a derivada existir para cada  . A função é diferenciável se ela é diferenciável em todo o seu domínio.

Conceitualmente, encontrar a derivada em um ponto significa encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Assim, a derivada pode ser considerada como uma aproximação linear ou de primeira ordem.

PropriedadesEditar

Algumas propriedades das derivadas seguem imediatamente a partir da definição:

Propriedades básicasEditar

Se f e g são diferenciáveis, então:

  •  
  •  

DemonstraçãoEditar

  •  
     
     


  •  

Teorema (diferenciabilidade implica continuidade)Editar

Se   é diferenciável em  , então ela é contínua em  .

DemonstraçãoEditar

Uma vez que   é diferenciável em  ,  .

Então  

Assim,  , então f é contínua em x.

Teorema (regra do produto)Editar

Se   e   são diferenciáveis, então  .

ProvaEditar

 

 
 
 
 , uma vez que g é contínua em x.  

O próximo teorema é um pouco mais complicado para provar do que parece. Nós gostaríamos de usar o seguinte argumento:

 

 
 
 

O problema é que   pode ser zero em pontos arbitrariamente próximos de x, e, por conseguinte,   não seria contínua nesses pontos. Assim aplicamos um lema inteligente como se segue:

Lema (Caratheodory)Editar

Seja  . Dizemos que   é diferenciável em   se, e somente se, existe uma função contínua   que satisfaz

 

ProvaEditar

  • Seja   diferenciável em   e defina a função   tal que
  e
 

É fácil ver que   é contínua e preenche a condição exigida.

  • Seja   uma função contínua que satisfaz  . Temos,  , que
 

Como   é contínua,  , ou seja,

 , o que implica que   é diferenciável em  .

Teorema (regra da cadeia)Editar

Seja   diferenciável em   e seja   diferenciável em  . Então

(i)   é diferenciável em  ;
(ii)  .

ProvaEditar

O lema de Caratheodory implica que existem funções contínuas   tais que

  e
 .

Agora, considere a função  . Obviamente,   é contínua. Além disso, ela satisfaz

 .

Assim, pelo Lema de Caratheodory,   é diferenciável em   e vale  .

ExemplosEditar

Considere   definida por  . Qual é a derivada de   em  ?

 

 

Assim, aqui vemos que  . Uma vez que   foi um ponto arbitrariamente escolhido, concluímos que  .

Similarmente a fórmula da derivada também pode ser encontrada.

Uma vez que os teoremas anteriores garantem que soma, bem como o produto, de funções diferenciáveis é resulta em uma função diferenciável, segue que as funções polinomiais são diferenciáveis.

ExercíciosEditar

  • Encontrar as derivadas das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica.
  • Alguns dos contra-exemplos mais populares para ilustrar propriedades de continuidade e de diferenciabilidade são funções que envolvem  .
    1. Prove que   não é contínua em  .
    2. Prove que a função   é contínua, mas não diferenciável em  .
    3. Prove que   é diferenciável em  .