Algumas propriedades das derivadas seguem imediatamente a partir da definição:
Se f e g são diferenciáveis, então:
(
f
+
g
)
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)}
(
λ
f
)
′
(
x
)
=
λ
f
′
(
x
)
{\displaystyle (\lambda f)'(x)=\lambda f'(x)}
(
f
+
g
)
′
(
x
)
=
lim
y
→
x
(
f
(
y
)
+
g
(
y
)
)
−
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
y
−
x
{\displaystyle (f+g)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{(f(y)+g(y))-(f(x)+g(x)) \over y-x}}
=
lim
y
→
x
(
f
(
y
)
−
f
(
x
)
y
−
x
+
g
(
y
)
−
g
(
x
)
y
−
x
)
{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}\left({f(y)-f(x) \over y-x}+{g(y)-g(x) \over y-x}\right)}
=
lim
y
→
x
f
(
y
)
−
f
(
x
)
y
−
x
+
lim
y
→
x
g
(
y
)
−
g
(
x
)
y
−
x
=
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
)
{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}+\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}=f'(x)+g'(x)}
(
λ
f
)
′
(
x
)
=
lim
y
→
x
λ
f
(
y
)
−
λ
f
(
x
)
y
−
x
=
λ
lim
y
→
x
f
(
y
)
−
f
(
x
)
y
−
x
=
λ
f
′
(
x
)
{\displaystyle (\lambda f)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{\lambda f(y)-\lambda f(x) \over y-x}=\lambda \lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}=\lambda f'(x)}
Teorema (diferenciabilidade implica continuidade)
editar
Se
f
{\displaystyle f}
é diferenciável em
x
{\displaystyle x}
, então ela é contínua em
x
{\displaystyle x}
.
Uma vez que
f
{\displaystyle f}
é diferenciável em
x
{\displaystyle x}
,
lim
y
→
x
f
(
y
)
−
f
(
x
)
y
−
x
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}=f'(x)}
.
Então
lim
y
→
x
[
f
(
y
)
−
f
(
x
)
]
=
lim
y
→
x
f
(
y
)
−
f
(
x
)
y
−
x
lim
y
→
x
(
y
−
x
)
=
f
′
(
x
)
0
=
0
{\displaystyle \lim _{y\rightarrow x}\left[f(y)-f(x)\right]=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}\lim _{y\rightarrow x}\left(y-x\right)=f'(x)\;0=0}
Assim,
lim
y
→
x
f
(
y
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{y\rightarrow x}f(y)=f(x)}
, então f é contínua em x.
Teorema (regra do produto)
editar
Se
f
{\displaystyle f}
e
g
{\displaystyle g}
são diferenciáveis, então
(
f
g
)
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
.
(
f
g
)
′
(
x
)
=
lim
y
→
x
f
(
y
)
g
(
y
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
y
−
x
{\displaystyle (fg)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{f(y)g(y)-f(x)g(x) \over y-x}}
=
lim
y
→
x
f
(
y
)
g
(
y
)
−
f
(
x
)
g
(
y
)
+
f
(
x
)
g
(
y
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
y
−
x
{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(y)g(y)-f(x)g(y)+f(x)g(y)-f(x)g(x) \over y-x}}
=
lim
y
→
x
(
f
(
y
)
−
f
(
x
)
)
g
(
y
)
+
f
(
x
)
(
g
(
y
)
−
g
(
x
)
)
y
−
x
{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}({f(y)-f(x))g(y)+f(x)(g(y)-g(x)) \over y-x}}
=
lim
y
→
x
f
(
y
)
−
f
(
x
)
y
−
x
lim
y
→
x
g
(
y
)
+
f
(
x
)
lim
y
→
x
g
(
y
)
−
g
(
x
)
y
−
x
{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(y)-f(x) \over y-x}\lim _{y\rightarrow x}g(y)+f(x)\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}}
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
, uma vez que g é contínua em x.
◼
{\displaystyle \blacksquare }
O próximo teorema é um pouco mais complicado para provar do que parece. Nós gostaríamos de usar o seguinte argumento:
(
f
∘
g
)
′
(
x
)
=
lim
y
→
x
f
(
g
(
y
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
y
−
x
{\displaystyle (f\circ g)'(x)=\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over y-x}}
=
lim
y
→
x
f
(
g
(
y
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
g
(
y
)
−
g
(
x
)
g
(
y
)
−
g
(
x
)
y
−
x
{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}{g(y)-g(x) \over y-x}}
=
lim
y
→
x
f
(
g
(
y
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
g
(
y
)
−
g
(
x
)
lim
y
→
x
g
(
y
)
−
g
(
x
)
y
−
x
{\displaystyle =\lim _{y\rightarrow x}{f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}\lim _{y\rightarrow x}{g(y)-g(x) \over y-x}}
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle =f'(g(x))g'(x)}
O problema é que
g
(
y
)
−
g
(
x
)
{\displaystyle g(y)-g(x)}
pode ser zero em pontos arbitrariamente próximos de x, e, por conseguinte,
f
(
g
(
y
)
)
−
f
(
g
(
x
)
)
g
(
y
)
−
g
(
x
)
{\displaystyle {f(g(y))-f(g(x)) \over g(y)-g(x)}}
não seria contínua nesses pontos. Assim aplicamos um lema inteligente como se segue:
Seja
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
. Dizemos que
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
é diferenciável em
x
=
c
{\displaystyle x=c}
se, e somente se, existe uma função contínua
ϕ
:
R
→
R
{\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
que satisfaz
(
x
−
c
)
ϕ
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
c
)
∀
x
∈
R
{\displaystyle (x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\quad \forall x\in \mathbb {R} }
Seja
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
diferenciável em
x
=
c
{\displaystyle x=c}
e defina a função
ϕ
:
R
→
R
{\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
tal que
ϕ
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
c
)
x
−
c
para
x
≠
c
{\displaystyle \phi (x)={\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}{\mbox{ para }}x\neq c}
e
ϕ
(
c
)
=
f
′
(
c
)
{\displaystyle \phi (c)=f'(c)}
É fácil ver que
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (x)}
é contínua e preenche a condição exigida.
Seja
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (x)}
uma função contínua que satisfaz
(
x
−
c
)
ϕ
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
c
)
∀
x
∈
R
{\displaystyle (x-c)\phi (x)=f(x)-f(c)\quad \forall x\in \mathbb {R} }
. Temos,
∀
x
≠
c
{\displaystyle \forall x\neq c}
, que
ϕ
(
x
)
=
f
(
x
)
−
f
(
c
)
x
−
c
{\displaystyle \phi (x)={\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}}
Como
ϕ
{\displaystyle \phi }
é contínua,
ϕ
(
c
)
=
lim
x
→
c
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (c)=\lim _{x\to c}\phi (x)}
, ou seja,
ϕ
(
c
)
=
lim
x
→
c
f
(
x
)
−
f
(
c
)
x
−
c
{\displaystyle \phi (c)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}}
, o que implica que
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
é diferenciável em
x
=
c
{\displaystyle x=c}
.
Teorema (regra da cadeia)
editar
Seja
g
:
R
→
R
{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
diferenciável em
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
e seja
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
diferenciável em
d
=
g
(
c
)
{\displaystyle d=g(c)}
. Então
(i)
(
f
∘
g
)
(
x
)
{\displaystyle (f\circ g)(x)}
é diferenciável em
x
=
c
{\displaystyle x=c}
;
(ii)
(
f
∘
g
)
′
(
c
)
=
f
′
(
g
(
c
)
)
g
′
(
c
)
{\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))\,g'(c)}
.
O lema de Caratheodory implica que existem funções contínuas
ϕ
,
γ
:
R
→
R
{\displaystyle \phi ,\gamma :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
tais que
(
x
−
c
)
γ
(
x
)
=
g
(
x
)
−
g
(
c
)
{\displaystyle (x-c)\gamma (x)=g(x)-g(c)}
e
(
g
(
x
)
−
g
(
c
)
)
ϕ
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
c
)
)
{\displaystyle (g(x)-g(c))\phi (x)=f(g(x))-f(g(c))}
.
Agora, considere a função
η
(
x
)
=
ϕ
(
x
)
γ
(
x
)
{\displaystyle \eta (x)=\phi (x)\gamma (x)}
. Obviamente,
η
(
x
)
{\displaystyle \eta (x)}
é contínua. Além disso, ela satisfaz
(
x
−
c
)
η
(
x
)
=
(
f
∘
g
)
(
x
)
−
(
f
∘
g
)
(
c
)
{\displaystyle (x-c)\eta (x)=(f\circ g)(x)-(f\circ g)(c)}
.
Assim, pelo Lema de Caratheodory,
(
f
∘
g
)
(
x
)
{\displaystyle (f\circ g)(x)}
é diferenciável em
x
=
c
{\displaystyle x=c}
e vale
(
f
∘
g
)
′
(
c
)
=
η
(
c
)
=
f
′
(
g
(
c
)
)
g
′
(
c
)
{\displaystyle (f\circ g)'(c)=\eta (c)=f'(g(c))\,g'(c)}
.
Encontrar as derivadas das funções polinomiais, trigonométricas, exponencial e logarítmica.
Alguns dos contra-exemplos mais populares para ilustrar propriedades de continuidade e de diferenciabilidade são funções que envolvem
f
(
x
)
=
sen
(
1
x
)
{\displaystyle f(x)=\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)}
.
Prove que
f
(
x
)
=
{
sen
(
1
x
)
para todo
x
≠
0
0
para
x
=
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ para todo }}x\neq 0\\0&{\text{ para }}x=0\end{cases}}\ }
não é contínua em
x
=
0
{\displaystyle x=0}
.
Prove que a função
f
(
x
)
=
{
x
sen
(
1
x
)
para todo
x
≠
0
0
para
x
=
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x\,\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ para todo }}x\neq 0\\0&{\text{ para }}x=0\end{cases}}\ }
é contínua, mas não diferenciável em
x
=
0
{\displaystyle x=0}
.
Prove que
f
(
x
)
=
{
x
2
sen
(
1
x
)
para todo
x
≠
0
0
para
x
=
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}\,\operatorname {sen} \left({\frac {1}{x}}\right)&{\text{ para todo }}x\neq 0\\0&{\text{ para }}x=0\end{cases}}\ }
é diferenciável em
x
=
0
{\displaystyle x=0}
.