Análise real/Desigualdades

Ordem entre dois números naturaisEditar

Um número "m" é menor que o outro "n", se existe um natural "p" tal que o maior "n" é igual ao menor "m" adicionado a esse natural "p":

Definiçao da ordem entre dois números naturais:  .
  • Ou seja, o maior "n" é o "p"-sucessor de "m", ié,  .
  • Ou também  
Definição da Relação de Ordem(definição da desigualdade):  .

É considerada uma definição, mesmo que possamos provar. Pois o "p" indica que se somarmos 1 p-vezes ao menor número, teremos o maior. Dessa maneira "m" é dito menor que "n".

Transitividade da relação de ordemEditar

Teorema:  .

Prova:

  • Sejam  . Pela definição da Relação de ordem,  .
  • Pela associatividade da adição dos naturais temos que  .
  • Pela definição da relação de ordem  .

1 é o menor naturalEditar

Tomado qualquer natural diferente de 1, teremos que esse natural é maior que 1, isto é,

Teorema:  .

Prova:

  • Por indução sobre m, devemos mostrar que é válido para o primeiro m possível, que no caso é o sucessor de 1, que é 2, assim: 1<2.
  • Devemos supor que seja válido para qualquer m tomado, ou seja, para quando m = k, ou seja, 1<k.
  • Devemos agora, provar ser válido para m = k+1. No entanto, k+1 é o sucessor de k, logo k<k+1, como por hipótese da indução 1<k, pela transitividade da relação de ordem, 1<k+1.

o sucessor de um número é maior que esse númeroEditar

Mostre que  
  • Vamos mostrar por indução sobre n, que  
    • Devemos mostrar que é válido para p = 1, ou seja,  . Mas  .
    • Suponhamos que é válido para p = k, ou seja,  .
    • Como  
    •  
    • onde a implicação 1 é pela identidade de sucessão, a implicação 2 é pela sucessão de um natural, a implicação 3 é pela comutatidade da adição e a implicação 4 é pela definição de desigualdade.

o sucessor do emésimo-sucessor de um naturalEditar

Mostre que  
Vamos provar por indução sobre m:
  • Vamos mostrar que é válido para m = 1, ou seja  .
    • Como   tal que  
  • Suponha válido para m = k, ou seja,  
  • Mostrar válido para m = k + 1, ou seja,  
    • Como  
    •  .
      • onde as implicações 1 e 5 são pela definição de desigualdade, a implicação 2 pela identidade de sucessão, a implicação 3 é pela definição de sucessor e a implicação 4 é pela definição de k-sucessor.

MonotonicidadeEditar

Dados dois naturais, a relação de ordem não se perde somando ou multiplicando um natural qualquer por ambos os membros.

Teorema:  

Prova:

  • adição:
    • Por hipótese temos que m<n. Pela definição da desigualdade, existe um q natural tal que m+q = n.
    • Pela recíproca da lei de corte para adição, temos que  .
    • Pela lei comutativa da adição, temos que m+p+q = n+p, logo m+p<n+p.
  • multiplicação: Como m<n, pela definição de desigualdade, existe um q natural tal que m+q = n, assim  , pela lei distributiva, temos que m.p+q.p = n.p, logo  

TricotomiaEditar

Dados  . Das três possibilidades, somente uma é verdadeira:

  • 1) m = n
  • 2) m<n
  • 3) n<m.
  • Demonstração: Fixemos m natural. Queremos mostrar que para qualquer n, natural, dado, teremos que m = n ou m<n ou n<m (isto é, m e n são comparáveis).
    • Suponha que exista um conjunto X, subconjunto dos números naturais que são comparáveis com m. Assim  .
    • Vamos provar que   por indução sobre n.
      • Devemos mostrar que é válido para n = 1, isto é, 1=m ou 1<m ou m<1:
        • caso m = 1, então 1 = 1
        • caso m é natural e diferente de 1, pelo axioma de que "1 é o menor natural", então 1 < m.
        • Portanto 1 é comparável com m e  
      • Vamos supor que é válido para  , ou seja, das três possibilidade, uma é verdadeira, k=m ou k<m ou m<k e assim  .
      • provar válido para n = k+1, ou seja, que das três possibilidade, uma é verdadeira, k+1=m ou k+1<m ou m<k+1 e assim  .
        • caso k=m, logo k+1=m+1, e assim k+1 é o sucessor de m, e portanto m<k+1 e  .
        • caso k<m, pelo axioma da ordem de dois números  .
          • caso  .
          • caso 1<p, pela monotonicidade k+1<k+p. Como k+p = m, logo  .
          • Pelo axioma que 1 é o menor inteiro, não é possível que p<1, portanto  .
        • caso m<k, pelo axioma da ordem de dois números  .
          • caso   logo pela transitividade da relação de ordem,  .
          • caso 1<p, pela monotonicidade, m+1<m+p. Pela definição de desigualdade, existe um q natural tal que m+1+q=m+p. Como m+p = k, logo m+1+q=k, e assim m+1+q+1 = k+1, portanto m+1<k+1. Como m<m+1, pela transitividade da relação de ordem m < k+1  .
          • Pelo axioma que 1 é o menor inteiro, não é possível que p<1, portanto  .

relatividade entre múltiplos de um naturalEditar

Sejam  

  • Vamos fixar m e n naturais. Faremos a indução sobre p, assim:
    • para quando p = 1, temos que  
    • Suponha que seja válido para p = k, isto é, que  .
    • Mostrar válido para p = k+1, ou seja, que  .
      • Pela propriedade distributiva  .
      • Por hipóteses  .
      • Pela comutatividade da adição  .
      • Pela propriedade distributiva  
      • Tomemos  , assim  .

Lei do Corte para desigualdadesEditar

Dados m,n,p naturais, de forma que   ou que  , então ocorre em ambas que m < n.

  • adição. Como  . Pela definição de ordem, existe um q natural tal que  . Pela comutatividade da adição,  . Pela lei do corte da adição, m+q=n. Pela relação de ordem entre dois números, m<n.
  • multiplicação.
    • 1ª Prova: Como  . Pela definição de ordem, existe um r natural tal que  .
      • Pela relatividade entre dois múltiplos naturais, temos que  . Pela propriedade distributiva,  . Pela lei do corte da multiplicação,  . Pela relação de ordem entre dois números,  .
    • 2ª prova: ou Pela tricotomia, temos que dados m,n naturais temos que m=n ou m<n ou n<m.
      • caso m=n, logo mp=np (não atende nossa hipótese)
      • caso n<m, logo pela monotonicidade temos que np<mp, para qualquer p natural (também não atende a nossa hipótese)
      • logo m<n, pois as outras duas possibilidades são incompatíveis com a nossa hipótese e pela tricotomia uma das três comparações é verdade.