Um número "m" é menor que o outro "n", se existe um natural "p" tal que o maior "n" é igual ao menor "m" adicionado a esse natural "p":
Definiçao da ordem entre dois números naturais: .
Ou seja, o maior "n" é o "p"-sucessor de "m", ié, .
Ou também
Definição da Relação de Ordem(definição da desigualdade): .
É considerada uma definição, mesmo que possamos provar. Pois o "p" indica que se somarmos 1 p-vezes ao menor número, teremos o maior. Dessa maneira "m" é dito menor que "n".
Tomado qualquer natural diferente de 1, teremos que esse natural é maior que 1, isto é,
Teorema: .
Prova:
Por indução sobre m, devemos mostrar que é válido para o primeiro m possível, que no caso é o sucessor de 1, que é 2, assim: 1<2.
Devemos supor que seja válido para qualquer m tomado, ou seja, para quando m = k, ou seja, 1<k.
Devemos agora, provar ser válido para m = k+1. No entanto, k+1 é o sucessor de k, logo k<k+1, como por hipótese da indução 1<k, pela transitividade da relação de ordem, 1<k+1.
Devemos mostrar que é válido para p = 1, ou seja, . Mas .
Suponhamos que é válido para p = k, ou seja, .
Como
onde a implicação 1 é pela identidade de sucessão, a implicação 2 é pela sucessão de um natural, a implicação 3 é pela comutatidade da adição e a implicação 4 é pela definição de desigualdade.
onde as implicações 1 e 5 são pela definição de desigualdade, a implicação 2 pela identidade de sucessão, a implicação 3 é pela definição de sucessor e a implicação 4 é pela definição de k-sucessor.
Dados dois naturais, a relação de ordem não se perde somando ou multiplicando um natural qualquer por ambos os membros.
Teorema:
Prova:
adição:
Por hipótese temos que m<n. Pela definição da desigualdade, existe um q natural tal que m+q = n.
Pela recíproca da lei de corte para adição, temos que .
Pela lei comutativa da adição, temos que m+p+q = n+p, logo m+p<n+p.
multiplicação: Como m<n, pela definição de desigualdade, existe um q natural tal que m+q = n, assim , pela lei distributiva, temos que m.p+q.p = n.p, logo
Dados . Das três possibilidades, somente uma é verdadeira:
1) m = n
2) m<n
3) n<m.
Demonstração: Fixemos m natural. Queremos mostrar que para qualquer n, natural, dado, teremos que m = n ou m<n ou n<m (isto é, m e n são comparáveis).
Suponha que exista um conjunto X, subconjunto dos números naturais que são comparáveis com m. Assim .
Vamos provar que por indução sobre n.
Devemos mostrar que é válido para n = 1, isto é, 1=m ou 1<m ou m<1:
caso m = 1, então 1 = 1
caso m é natural e diferente de 1, pelo axioma de que "1 é o menor natural", então 1 < m.
Portanto 1 é comparável com m e
Vamos supor que é válido para , ou seja, das três possibilidade, uma é verdadeira, k=m ou k<m ou m<k e assim .
provar válido para n = k+1, ou seja, que das três possibilidade, uma é verdadeira, k+1=m ou k+1<m ou m<k+1 e assim .
caso k=m, logo k+1=m+1, e assim k+1 é o sucessor de m, e portanto m<k+1 e .
caso k<m, pelo axioma da ordem de dois números .
caso .
caso 1<p, pela monotonicidade k+1<k+p. Como k+p = m, logo .
Pelo axioma que 1 é o menor inteiro, não é possível que p<1, portanto .
caso m<k, pelo axioma da ordem de dois números .
caso logo pela transitividade da relação de ordem, .
caso 1<p, pela monotonicidade, m+1<m+p. Pela definição de desigualdade, existe um q natural tal que m+1+q=m+p. Como m+p = k, logo m+1+q=k, e assim m+1+q+1 = k+1, portanto m+1<k+1. Como m<m+1, pela transitividade da relação de ordem m < k+1 .
Pelo axioma que 1 é o menor inteiro, não é possível que p<1, portanto .
Dados m,n,p naturais, de forma que ou que , então ocorre em ambas que m < n.
adição. Como . Pela definição de ordem, existe um q natural tal que . Pela comutatividade da adição, . Pela lei do corte da adição, m+q=n. Pela relação de ordem entre dois números, m<n.
multiplicação.
1ª Prova: Como . Pela definição de ordem, existe um r natural tal que .
Pela relatividade entre dois múltiplos naturais, temos que . Pela propriedade distributiva, . Pela lei do corte da multiplicação, . Pela relação de ordem entre dois números, .
2ª prova: ou Pela tricotomia, temos que dados m,n naturais temos que m=n ou m<n ou n<m.
caso m=n, logo mp=np (não atende nossa hipótese)
caso n<m, logo pela monotonicidade temos que np<mp, para qualquer p natural (também não atende a nossa hipótese)
logo m<n, pois as outras duas possibilidades são incompatíveis com a nossa hipótese e pela tricotomia uma das três comparações é verdade.