espaço métrico (X,d) é um conjunto X dotado de uma função
d
:
X
2
→
R
{\displaystyle d:X^{2}\to \mathbf {R} \,}
X uma distância entre eles. Esta distância deve satisfazer os seguintes axiomas:
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)\,}
d
(
x
,
y
)
=
0
⇔
x
=
y
{\displaystyle d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}
d
(
x
,
z
)
≤
d
(
x
,
y
)
+
d
(
y
,
z
)
{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}
O espaço vetorial euclidiano
(
R
n
,
d
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d)}
d
(
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
=
(
y
1
−
x
1
)
2
+
⋯
+
(
y
n
−
x
n
)
2
{\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\cdots +(y_{n}-x_{n})^{2}}}}
n
{\displaystyle n\,}
É importante notar que a distância acima definida não é a única que satisfaz os axiomas de espaço métrico; porém, pela sua importância, ela é considerada a métrica canônica no
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}
d
(
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
=
max
(
|
y
1
−
x
1
|
,
⋯
,
|
y
n
−
x
n
|
)
{\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=\max(|y_{1}-x_{1}|,\cdots ,|y_{n}-x_{n}|)}
d
(
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
(
y
1
,
…
,
y
n
)
)
=
|
y
1
−
x
1
|
+
⋯
+
|
y
n
−
x
n
|
{\displaystyle d((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=|y_{1}-x_{1}|+\cdots +|y_{n}-x_{n}|}
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)\,}
d
(
x
,
y
)
=
{
0
,
se
x
=
y
1
,
se
x
≠
y
{\displaystyle d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}0,&{\mbox{se }}x=y\\1,&{\mbox{se }}x\neq y\end{matrix}}\right.}
Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico (para a mesma distância)
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Diz-se que uma sequência de pontos
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X\,}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\,}
lim
n
→
∞
d
(
x
,
x
n
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x,x_{n})=0\,}
Diz-se que uma sequência de pontos
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X\,}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0\,}
N tal que
d
(
x
n
,
x
m
)
<
ε
,
∀
n
,
m
>
N
{\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\varepsilon ,\forall n,m>N\,}
Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy.
Um espaço métrico é dito completo se todo sequência de Cauchy é convergente.
Teorema: Um subconjunto fechado de um espaço métrico completo é um espaço métrico completo.
