Análise real/Introdução

A análise real é uma área da análise matemática que estuda o conjunto dos números reais e, principalmente, as propriedades analíticas das funções reais a valores reais. Entre os seus objetos de estudo, estão:

• Convergência de seqüências;
• Limite de funções;
• Continuidade de funções;
• Diferenciação;
• Integração.

Sendo assim, este livro começa definindo de forma precisa o que são "números reais" e o que se pode fazer com eles, ou seja, quais são as operações definidas sobre este conjunto numérico, e quais as suas propriedades. A presença de tais formalismos em um livro de análise é essencial. Uma razão muito simples para isso é que não se pode começar a provar teoremas sobre números reais, sem que se tenha deixado claro sobre o que exatamente está sendo falado. Essa é uma das grandes diferenças entre um livro de cálculo e um livro de análise: Em cálculo o mais importante é aprender a aplicar os conceitos e teoremas (da análise matemática), realizando cálculos. Na análise, procura-se desenvolver formalmente toda a teoria que garante o funcionamento daqueles teoremas, fazendo-se uma análise dessa teoria, levando em conta toda a estrutura lógica que interliga tais teoremas. Em certo sentido, em cálculo usam-se os teoremas para fazer contas, e na análise usa-se a lógica para fazer teoremas.

Com o conhecimento adquirido na formação escolar, tem-se ainda apenas uma idéia intuitiva do que são os números reais. Às vezes não se tem a familiaridade necessária com esse conceito para poder responder com segurança questões como:

• "Por que não se extrai raiz quadrada de números negativos, como ${\sqrt {-1}}$?" e
• "Por que não se pode dividir por zero, e escrever ${\frac {1}{0}}$?"

Mesmo que a verdade fosse dita, alguns alunos não ficariam satisfeitos com a explicação. Mesmo que a resposta possa não ser útil para muitas pessoas, para os futuros matemáticos, e professores de matemática, é preciso oferecer alguma explicação convincente. No caso:

• Pode-se, sim, extrair raiz quadrada de números negativos, mas o resultado será um número complexo.
• Mesmo que alguém quisesse definir a segunda expressão como sendo algum número real (e admita, até você já quis fazer isso, não?), imediatamente seriam deduzidos fatos contraditórios.

Um exemplo (talvez um pouco informal) de uma tentativa frustrada de definir essa última expressão, mas que oferece alguma intuição a respeito é:

• Se ${\frac {1}{0}}$ fosse igual a $10$, ou seja, ${\frac {1}{0}}=10$ então ao multiplicar ambos os membros pelo denominador (às vezes chamado de passar o zero para a direita) seria concluído que $1=0$. Nada é mais absurdo que isso!

Sendo assim, já que qualquer tentativa de escolher um valor real para atribuir à expressão ${\frac {1}{0}}$ leva a uma contradição como a anterior, é muito mais útil deixar tal expressão indefinida, do que estudar uma teoria cheia de contradições!

Neste livro, a abordagem escolhida para a construção da teoria é aquela em que se procura definir os números a partir de alguns axiomas (uma teoria axiomática). Em termos leigos, os axiomas correspondem às propriedades que se acredita que os números reais deveriam ter. Com base nessas propriedades, demonstram-se muitas outras (leia-se "todas as outras"), de forma que tudo aquilo que se pode fazer com os números reais esteja bem justificado.

Faça uma boa leitura e, se encontrar algum erro ao longo do texto, seja audaz: Faça você mesmo a correção! Melhorias no texto sempre serão bem vindas, e em caso de dúvida pode-se ainda consultar os autores.