Análise real/Isomorfismo

Partição de um conjunto e União DisjuntaEditar

Podemos dividir um conjunto em suas partições disjuntas de forma que se unirmos tudo teremos novamente o conjunto:

  • O conjunto dos inteiros pode ser dividido em dois grupos de mesma cardinalidade, o conjunto dos pares e dos impares, assim
    • Pares = {...,-4,-2,0,2,4,...}
    • Impares = {...,-5,-3,-1,1,3,5,...)}
    •  

Relação de EquivalênciaEditar

Um subconjunto R de   é uma relação de equivalência em A se, e somente se,
  •  
  •  
  •  

Relação BináriaEditar

A relação binária ~ sobre A é uma relação de equivalência sobre A se:

  •   (reflexiva)
  •   (simétrica)
  •   (transitiva)

classe de equivalênciaEditar

Seja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência em A, então a classe de equivalência de a em A é o conjunto de todos os elementos que têm relação com a:

  •  .

Pares e impares dos inteirosEditar

Pares:

  •  
  •  

Impares

  •  
  •  

Conjunto quocienteEditar

O conjunto das classes de equivalência de uma relação de equivalência ~ em A é chamado de conjunto quociente de A sobre ~, que será escrito como A/~.

ExemploEditar

Como vimos acima, foi definido no conjunto dos inteiros uma relação de equivalência separando o conjunto dos inteiros em duas partições tal que a união disjusta:

  •  

O Conjunto Editar

  •  

Operações nos naturaisEditar

Seja s a função das somas naturais onde s(a,b) é a soma entre a e b.

  •  
    • Ex:  

Seja d a função que multiplica dois naturais onde d(a,b) é a multiplicação entre a e b

  •  
    •  

Aplicação entre e Editar

  • Consideremos uma aplicação  .

IsomorfismoEditar