Partição de um conjunto e União Disjunta
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Podemos dividir um conjunto em suas partições disjuntas de forma que se unirmos tudo teremos novamente o conjunto:
O conjunto dos inteiros pode ser dividido em dois grupos de mesma cardinalidade, o conjunto dos pares e dos impares, assim
Pares = {...,-4,-2,0,2,4,...}
Impares = {...,-5,-3,-1,1,3,5,...)}
Z
=
P
a
r
e
s
∪
I
m
p
a
r
e
s
{\displaystyle \mathbb {Z} =Pares\cup Impares}
Relação de Equivalência
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Um subconjunto R de
A
2
{\displaystyle A^{2}}
é uma relação de equivalência em A se, e somente se,
(
a
,
a
)
∈
R
,
∀
a
∈
A
{\displaystyle (a,a)\in R,\forall \;a\in A}
(
a
,
b
)
∈
R
,
→
(
b
,
a
)
∈
R
{\displaystyle (a,b)\in R,\rightarrow (b,a)\in R}
(
a
,
b
)
∈
R
e
(
b
,
c
)
∈
R
→
(
a
,
c
)
∈
R
{\displaystyle (a,b)\in R\;e\;(b,c)\in R\rightarrow (a,c)\in R}
Relação Binária
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classe de equivalência
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Seja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência em A, então a classe de equivalência de a em A é o conjunto de todos os elementos que têm relação com a:
[
a
]
=
{
x
∈
A
:
x
∼
a
}
{\displaystyle [a]=\{x\in A:x\sim a\}}
.
Pares e impares dos inteiros
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Pares:
[
0
]
=
{
x
∈
Z
:
x
∼
0
,
s
e
x
−
0
=
p
a
r
}
{\displaystyle [0]=\{x\in \mathbb {Z} :x\sim 0,se\;x-0=par\}}
[
0
]
=
{
.
.
.
,
−
4
,
−
2
,
0
,
2
,
4
,
.
.
.
}
{\displaystyle [0]=\{...,-4,-2,0,2,4,...\}}
Impares
[
1
]
=
{
x
∈
Z
:
x
∼
1
,
s
e
x
−
1
=
i
m
p
a
r
}
{\displaystyle [1]=\{x\in \mathbb {Z} :x\sim 1,se\;x-1=impar\}}
[
1
]
=
{
.
.
.
,
−
5
,
−
3
,
−
1
,
1
,
3
,
5
,
.
.
.
}
{\displaystyle [1]=\{...,-5,-3,-1,1,3,5,...\}}
Conjunto quociente
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O conjunto das classes de equivalência de uma relação de equivalência ~ em A é chamado de conjunto quociente de A sobre ~, que será escrito como A/~.
Como vimos acima, foi definido no conjunto dos inteiros uma relação de equivalência separando o conjunto dos inteiros em duas partições tal que a união disjusta:
Z
/
∼=
{
[
0
]
,
[
1
]
}
{\displaystyle Z/\sim =\{[0],[1]\}}
O Conjunto
N
×
N
=
N
2
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} =\mathbb {N} ^{2}}
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N
×
N
=
{
(
a
,
b
)
∈
N
2
:
a
,
b
∈
N
}
{\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} =\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}:a,b\in \mathbb {N} \}}
Operações nos naturais
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Seja s a função das somas naturais onde s(a,b) é a soma entre a e b.
s
:
N
×
N
∖
{
1
}
↦
N
,
o
n
d
e
s
(
m
,
n
)
=
m
+
n
{\displaystyle s:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \setminus \{1\}\mapsto \mathbb {N} ,ondes(m,n)=m+n}
Ex:
s
(
1
,
1
)
=
1
+
1
=
2
{\displaystyle s(1,1)=1+1=2}
Seja d a função que multiplica dois naturais onde d(a,b) é a multiplicação entre a e b
d
:
N
×
N
↦
N
,
o
n
d
e
d
(
m
,
n
)
=
m
⋅
n
{\displaystyle d:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \mapsto \mathbb {N} ,onde\;d(m,n)=m\cdot n}
E
x
:
d
(
1
,
1
)
=
1
⋅
1
=
2
{\displaystyle Ex:d(1,1)=1\cdot 1=2}
Aplicação entre
N
2
{\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}
e
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
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Consideremos uma aplicação
Ψ
:
N
2
↦
Z
{\displaystyle \Psi :\mathbb {N} ^{2}\mapsto \mathbb {Z} }
.