Análise real/Isomorfismo
Partição de um conjunto e União Disjunta
editarPodemos dividir um conjunto em suas partições disjuntas de forma que se unirmos tudo teremos novamente o conjunto:
- O conjunto dos inteiros pode ser dividido em dois grupos de mesma cardinalidade, o conjunto dos pares e dos impares, assim
- Pares = {...,-4,-2,0,2,4,...}
- Impares = {...,-5,-3,-1,1,3,5,...)}
Relação de Equivalência
editarUm subconjunto R de é uma relação de equivalência em A se, e somente se,
Relação Binária
editarA relação binária ~ sobre A é uma relação de equivalência sobre A se:
- (reflexiva)
- (simétrica)
- (transitiva)
classe de equivalência
editarSeja A um conjunto e ~ uma relação de equivalência em A, então a classe de equivalência de a em A é o conjunto de todos os elementos que têm relação com a:
- .
Pares e impares dos inteiros
editarPares:
Impares
Conjunto quociente
editarO conjunto das classes de equivalência de uma relação de equivalência ~ em A é chamado de conjunto quociente de A sobre ~, que será escrito como A/~.
Exemplo
editarComo vimos acima, foi definido no conjunto dos inteiros uma relação de equivalência separando o conjunto dos inteiros em duas partições tal que a união disjusta:
O Conjunto
editarOperações nos naturais
editarSeja s a função das somas naturais onde s(a,b) é a soma entre a e b.
-
- Ex:
Seja d a função que multiplica dois naturais onde d(a,b) é a multiplicação entre a e b
Aplicação entre e
editar- Consideremos uma aplicação .