Análise real/Números inteiros

Relação de equivalência no conjunto Editar

A relação ~ em   ao ser definida por:

  •  

é uma relação de equivalência se, e somente se for:

  • (reflexiva)  :
    •  
  • (simétrica)  :
    •  
  • (transitiva)  :
    •  

Partição de  Editar

Podemos dividir o conjunto de   em partições disjuntas cuja união é o próprio  . Tome as partições da forma [1,n] ou [n,1]. Vamos usar a tricotomia entre 1 e n.

  • caso n=1, eles coincidem com  
  • caso em que  :
    •  
    •  
  • Assim podemos dizer que  
  • De forma geral dizemos que o conjunto quociente:
    •  

Adição em Editar

Ao somarmos dois elementos de  , o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.

  •  . Vamos definir A por:
    •  .

Vamos mostrar que   é uma relação bem definida.

  • Tome  
    •  
    •  
    • Ex.  
      •   Assim podemos já resolver equações do 1º grau ao igualarmos qualquer elemento de   para a sua forma mais resumida (1,1), (1,n),(n,1).
  • (exercício) Prove que  , onde   só haverá solução em   se igualarmos a apenas um dos valores que y pode assumir.

Multiplicação em Editar

Ao multiplicarmos dois elementos de  , o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.

  •  . Vamos definir A por:
    •  .

Vamos mostrar que   é uma relação bem definida.

  • Tome  
    • ... (exercício)
    •