Relação de equivalência no conjunto N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}
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A relação ~ em N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} ao ser definida por:
( a , b ) ∼ ( c , d ) ⇔ a + d = b + c {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c} é uma relação de equivalência se, e somente se for:
(reflexiva) ∀ ( a , b ) ∈ N 2 {\displaystyle \forall \;(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}} :
( a , b ) ∼ ( a , b ) ⇔ a + b = b + a {\displaystyle (a,b)\sim (a,b)\Leftrightarrow a+b=b+a}
(simétrica) ∀ ( a , b ) , ( c , d ) ∈ N 2 {\displaystyle \forall \;(a,b),(c,d)\in \mathbb {N} ^{2}} :
( a , b ) ∼ ( c , d ) ⇔ a + d = b + c ⇔ d + a = c + b ⇔ ( c , d ) ∼ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c\Leftrightarrow d+a=c+b\Leftrightarrow (c,d)\sim (a,b)}
(transitiva) ∀ ( a , b ) , ( c , d ) , ( p , q ) ∈ N 2 {\displaystyle \forall \;(a,b),(c,d),(p,q)\in \mathbb {N} ^{2}} :
( a , b ) ∼ ( c , d ) e ( c , d ) ∼ ( p , q ) ⇔ a + d = b + c e c + q = d + p ⇔ a + d + c + q = b + c + d + p ⇔ a + q = b + p ⇔ ( a , b ) ∼ ( p , q ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\;e\;(c,d)\sim (p,q)\Leftrightarrow a+d=b+c\;e\;c+q=d+p\Leftrightarrow a+d+c+q=b+c+d+p\Leftrightarrow a+q=b+p\Leftrightarrow (a,b)\sim (p,q)} Partição de N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}
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Podemos dividir o conjunto de N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} em partições disjuntas cuja união é o próprio N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} .
Tome as partições da forma [1,n] ou [n,1]. Vamos usar a tricotomia entre 1 e n.
caso n=1, eles coincidem com [ ( 1 , 1 ) ] = { ( a , b ) ∈ N 2 } : ( a , b ) ∼ ( 1 , 1 ) } {\displaystyle [(1,1)]=\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}:(a,b)\sim (1,1)\}}
caso em que n ≠ 1 {\displaystyle n\neq 1} :
[ ( 1 , n ) ] = { ( a , b ) ∈ N 2 } : ( a , b ) ∼ ( 1 , n ) } {\displaystyle [(1,n)]=\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}:(a,b)\sim (1,n)\}}
[ ( n , 1 ) ] = { ( a , b ) ∈ N 2 } : ( a , b ) ∼ ( n , 1 ) } {\displaystyle [(n,1)]=\{(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}:(a,b)\sim (n,1)\}}
Assim podemos dizer que N 2 / ∼= { [ 1 , 1 ] } ∪ { x ∈ N 2 : x = [ ( 1 , n ) ] : n ∈ N } ∪ { x ∈ N 2 : x = [ ( n , 1 ) ] : n ∈ N } {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}/\sim =\{[1,1]\}\cup \{x\in \mathbb {N} ^{2}:x=[(1,n)]:n\in \mathbb {N} \}\cup \{x\in \mathbb {N} ^{2}:x=[(n,1)]:n\in \mathbb {N} \}}
De forma geral dizemos que o conjunto quociente:
N 2 / ∼ = { [ ( a , b ) ] ∈ N 2 } : ( a , b ) ∈ N 2 } {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}/\sim \;=\{[(a,b)]\in \mathbb {N} ^{2}\}:(a,b)\in \mathbb {N} ^{2}\}} Adição em N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}
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Ao somarmos dois elementos de N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} , o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.
⊕ : N 2 × N 2 ↦ N 2 {\displaystyle \oplus :\mathbb {N} ^{2}\times \mathbb {N} ^{2}\mapsto \mathbb {N} ^{2}} . Vamos definir A por:
[ ( a , b ) ] ⊕ [ ( c , d ) ] = [ ( a + c , b + d ) ] {\displaystyle [(a,b)]\oplus [(c,d)]=[(a+c,b+d)]} .Vamos mostrar que ⊕ {\displaystyle \oplus } é uma relação bem definida.
Tome ( a ′ , b ′ ) ∈ [ ( a , b ) ] e ( c ′ , d ′ ) ∈ [ ( c , d ) ] ⇒ ( a ′ , b ′ ) ∼ ( a , b ) e ( c ′ , d ′ ) ∼ ( c , d ) ⇒ {\displaystyle (a',b')\in [(a,b)]\;e\;(c',d')\in [(c,d)]\Rightarrow (a',b')\sim (a,b)\;e\;(c',d')\sim (c,d)\Rightarrow }
⇒ a ′ + b = b ′ + a e c ′ + d = d ′ + c ⇒ ( a + c ) + ( b ′ + d ′ ) = ( a ′ + c ′ ) + ( b + d ) ⇒ {\displaystyle \Rightarrow a'+b=b'+a\;e\;c'+d=d'+c\Rightarrow (a+c)+(b'+d')=(a'+c')+(b+d)\Rightarrow }
⇒ ( a + c , b + d ) ∼ ( a ′ + c ′ , b ′ + d ′ ) ⇒ [ ( a + c , b + d ) ] = [ ( a ′ + c ′ , b ′ + d ′ ) ] {\displaystyle \Rightarrow (a+c,b+d)\sim (a'+c',b'+d')\Rightarrow [(a+c,b+d)]=[(a'+c',b'+d')]}
Ex. [ ( 1 , 2 ) ] ⊕ [ ( 3 , 4 ) ] = [ ( 1 + 3 , 2 + 4 ) ] = [ ( 4 , 6 ) ] {\displaystyle [(1,2)]\oplus [(3,4)]=[(1+3,2+4)]=[(4,6)]}
( 4 , 6 ) ∼ ( 1 , n ) ⇔ 4 + n = 1 + 6 ⇔ 4 + n = 4 + 3 ⇔ n = 3 ⇔ ( 4 , 6 ) ∼ ( 1 , 3 ) {\displaystyle (4,6)\sim (1,n)\Leftrightarrow 4+n=1+6\Leftrightarrow 4+n=4+3\Leftrightarrow n=3\Leftrightarrow (4,6)\sim (1,3)} Assim podemos já resolver equações do 1º grau ao igualarmos qualquer elemento de N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} para a sua forma mais resumida (1,1), (1,n),(n,1).
(exercício) Prove que ( a , b ) ∼ y {\displaystyle (a,b)\sim y} , onde y ∈ { ( 1 , x ) , ( 1 , 1 ) , ( x , 1 ) } {\displaystyle y\in \{(1,x),(1,1),(x,1)\}} só haverá solução em N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} se igualarmos a apenas um dos valores que y pode assumir. Multiplicação em N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}
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Ao multiplicarmos dois elementos de N 2 {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}} , o resultado deve ser um elemento do mesmo conjunto.
⊙ : N 2 × N 2 ↦ N 2 {\displaystyle \odot :\mathbb {N} ^{2}\times \mathbb {N} ^{2}\mapsto \mathbb {N} ^{2}} . Vamos definir A por:
[ ( a , b ) ] ⊙ [ ( c , d ) ] = [ ( a c + b d , a d + b c ) ] {\displaystyle [(a,b)]\odot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)]} .Vamos mostrar que ⊙ {\displaystyle \odot } é uma relação bem definida.
Tome ( a ′ , b ′ ) ∈ [ ( a , b ) ] e ( c ′ , d ′ ) ∈ [ ( c , d ) ] ⇒ ( a ′ , b ′ ) ∼ ( a , b ) e ( c ′ , d ′ ) ∼ ( c , d ) ⇒ {\displaystyle (a',b')\in [(a,b)]\;e\;(c',d')\in [(c,d)]\Rightarrow (a',b')\sim (a,b)\;e\;(c',d')\sim (c,d)\Rightarrow }
... (exercício)
⇒ ( a c , b d ) ( a ′ c ′ , b ′ d ′ ) ⇒ [ ( a c , b d ) ] = [ ( a ′ c ′ , b ′ d ′ ) ] {\displaystyle \Rightarrow (ac,bd)~(a'c',b'd')\Rightarrow [(ac,bd)]=[(a'c',b'd')]}