Análise rn/Espaços vetoriais

Espaço Vetorial $\mathbb {R} ^{n}$

• Definição:

O espaço euclidiano n-dimensional é o produto cartesiano de n fatores iguais a $\mathbb {R}$, cujo $n\in \mathbb {N}$:

$\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots \times \mathbb {R}$

Quando n = 1 (reta); n = 2 (plano); n = 3 (espaço euclidiano tridimensional); n = 0 (espaço nulo)

• Os pontos $a\in \mathbb {R} ^{n}$:

são todos os pontos a = $(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$, onde $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {R}$

• Unicidade de pontos:

Dados a = $(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})$ e b = $(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})$. Temos que $a=b\Leftrightarrow a_{i}=b_{i},\forall i\in I_{n}$

Relembrando da análise real que $I_{n}=\{i\in \mathbb {N} ;1\leq i\leq n\}$

Propriedades do Espaço Vetorial $\mathbb {R} ^{n}$

• Soma e produto no $\mathbb {R} ^{n}$

Dados $a,b\in \mathbb {R} ^{n},\alpha \in \mathbb {R}$

$a+b=(a_{1}+b_{1},\cdots ,a_{n}+b_{n})$

$\alpha \cdot a=(\alpha a_{1},\cdots ,\alpha a_{n})$

• Estas operações fazem de $\mathbb {R} ^{n}$ um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo dos $\mathbb {R}$.

O elemento neutro para adição é ${\vec {0}}=(0,0,...,0)$

O simétrico de $a\;$ é $-a\;$ assim $-a=(-a_{1},-a_{2},\cdots ,-a_{n})$

• Os elementos $a\in \mathbb {R} ^{n}$ serão chamados pontos ou vetores
• Chamaremos aplicação linear ao invés de transformação linear.
• A base canônica de $\mathbb {R} ^{n}$ é formada pelos vetores:

$e_{1}=(1,0,0,0,\cdots ,0,0,0);e_{2}=(0,1,0,0,\cdots ,0,0,0);\cdots ;e_{n}=(0,0,0,0,\cdots ,0,0,1)$

• Dado $a\in \mathbb {R} ^{n}$ temos que $a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cdot e_{i}$

Exemplos

• Podemos estabelecer uma bijeção natural entre o conjunto ${\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})$ das aplicações lineares $A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ e o conjunto $M(n\times m)$ das matrizes reais $(m_{ij})\;$ com n linhas e m colunas.
  • A matriz $(M_{ij})$ correspondente à aplicação linear A é definida pelas igualdades:

(*) $A\cdot e_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}e_{j};j\in I_{m}$

• • Assim a matriz $(a_{ij})$ da aplicação linear $A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ tem como colunas os m vetores $A\cdot e_{j}=(a_{1j},\cdots ,a_{nj})\in \mathbb {R} ^{n}$, transformados por A dos vetores da base canônica de $\mathbb {R} ^{n}$
  • Reciprocamente dada uma matriz $(a_{ij})$ com n linhas e m colunas, a igualdade (*) define os valores de uma aplicação linear $A:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ nos m vetores da base canônica. Isto é suficiente para definir o valor de A em qualquer vetor $a\in \mathbb {R} ^{m}$ tendo-se $A\cdot x=\sum _{j=1}^{m}xj\cdot Ae_{j}$
  • Cada matriz real $n\times m$ pode ser considerada como um ponto do espaço euclidiano $\mathbb {R} ^{nm}$, basta escrever suas colunas uma após a outra numa linha. Assim sempre que for conveniente, podemos substituir o conjunto ${\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})$ das aplicações lineares de $\mathbb {R} ^{m}$ em $\mathbb {R} ^{n}$; ora pelo conjunto $M(n\times m)$ das matrizes reais com n linhas e m colunas; ora pelo espaço euclidiano nm-dimensional$\mathbb {R} ^{nm}$.
  • $M(nxm)\approx {\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})\approx \mathbb {R} ^{nm}$ são isomorfos.
• Os funcionais lineares $f:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$são um tipo especial de aplicação linear.
  • Sejam $y_{j}=f(e_{j});j\in I_{m}$ os valores que o funcional assume nos vetores da base canônica. Para qualquer $a\in \mathbb {R} ^{m}$, temos $a=\sum _{i=1}^{m}a_{i}e_{i}$, logo $f(a)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}f(e_{i})$, ou seja, $f(a)=\sum _{i=1}^{m}y_{i}a_{i}$
  • Note que $(y_{1},\cdots ,y_{n})$ é a matriz $1\times m$ da aplicação linear $f$
• Seja $\pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ;i\in I_{m}$ o funcional que se anula em todos os vetores da base canônica exceto um, o vetor $e_{i}$:

onde se tem $\pi _{i}(e_{i})=1$. Então $\pi _{i}(a)=a_{i}=$ i-ésima coordenada de $a\in \mathbb {R} ^{m}$. Assim, $\pi _{i}$ é a i-ésima projeção do produto cartesiano $\mathbb {R} ^{m}{\mbox{ em }}\mathbb {R}$. Os funcionais lineares $\pi _{i};i\in I_{m}$ constituem uma base do espaço vetorial ${\mathfrak {L}}(\mathbb {R} ^{m};\mathbb {R} ^{n})=(\mathbb {R} )^{*}$ chamada a base dual da base canônica de $\mathbb {R} ^{m}$

• Uma aplicação $\varphi :\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{p}$ chama-se bilinear quando é linear separadamente em relação a cada uma das suas variáveis. Então é verdade que:

$\varphi (a+a',b)=\varphi (a,b)+\varphi (a',b)$

$\varphi (a,b+b')=\varphi (a,b)+\varphi (a,b')$

$\varphi (\alpha a,b)=\alpha \cdot \varphi (a,b)$

$\varphi (a,\alpha b)=\alpha \cdot \varphi (a,b)$

quaisquer que sejam $a,a'\in \mathbb {R} ^{m};b,b'\in \mathbb {R} ^{n}e\alpha \in \mathbb {R}$.

• • Se $\varphi$ é bilinear então, para $a\in \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ e }}b\in \mathbb {R} ^{n}$ arbitrários vale:

$\varphi (a,b)=\varphi (\sum a_{i}e_{i},\sum b_{j}e_{j})=\sum a_{i}b_{i}\varphi (e_{i},e_{j})$:

de modo que $\varphi$ fica inteiramente determinado pelos mn valores $\varphi (e_{i},e_{j})\in \mathbb {R} ^{p}$ que assume ns pares ordenados de vetores básicos$(e_{i},e_{j})$. Note que $\varphi (a,0)=\varphi (0,b)=0$ quaisquer que sejam $a\in \mathbb {R} ^{m}{\mbox{ e }}b\in \mathbb {R} ^{n}$.

Produto Interno

O produto interno é a função $<,>:(E\times E\rightarrow \mathbb {R} )$.

• simetria: $<a,b>\;=\;<b,a>,\forall a,b\in E$
• bilinear
  • soma: $<a+a',b>\;=\;<a,b>+<a',b>,\forall a,a',b\in E$
  • produto: $<\alpha a,b>\;=\;\alpha <b,a>,\forall a,b\in E\alpha \in \mathbb {R}$
• positivo: $<a,a>\;>0,{\mbox{ com }}a\neq 0$

Lema 1 (Produto interno canônico)

$Seja\;f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ,f(x,y)=<x,y>$

tome $a,b\in \mathbb {R} ^{n},<a,b>\;=\;a_{1}b_{1}+...+a_{n}b_{n}\;=\;\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

Norma

Dado $x\in \mathbb {R} ,<x,x>\;=\;|x|^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$ é a norma do vetor x (norma euclidiana)

• De maneira geral, $n:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R}$ é uma norma então
  • $n(a+b)\leq n(a)+n(b)$
  • $n(\alpha a)\;=\;\alpha n(a)$
  • $n(a)\geq 0\;e\;n(a)=0<=>a=0$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

$|<a,b>|\leq |a||b|,\forall a,b\in \mathbb {R} ^{n}$