Análise rn/Sequências no espaço euclidiano

Sequências no espaço euclidiano

Seja $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sequência onde $\{x_{1},x_{2},...,x_{i},...\}$ é dito conjunto dos termos da sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ .

• Se $x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$, ou seja, todos os termos da sequência pertencem ao $\mathbb {R} ^{n}$, então é dita sequência no espaço euclidiano.
• Uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é limitada quando todos os seus termos o são, ou seja, $|x_{k}|\leq A,\forall k\in \mathbb {N} ,aqui\;A=sup|x_{k}|$.

Logo se tomarmos normas de todos os termos da sequência, A é o maior deles.

• Seja uma sequência no espaço euclidiano. Como seus termos $x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ são vetores, então cada coordenada de cada termo $x_{k}=(x_{k1},x_{k2},...,x_{ki},...)$, ou seja, cada i-ésima coordenada de um termo da sequência faz parte de uma sequência. Se projetarmos a i-ésima coordenada do termo geral, $\pi _{i}(x_{k})=x_{ki}$, estaremos obtendo n sequências $\pi _{i}(x_{k}):\mathbb {N} \mapsto \mathbb {R}$
• Para uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ser limitada é necessário, e suficiente, que cada i-ésima coordenada o seja.

$|x_{k}|\leq A\Rightarrow |x_{ki}|\leq A_{i},assim\;A_{i}=sup|x_{ki}|$