Cálculo (Volume 2)/Funções de várias variáveis/Funções

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III

Funções de duas variáveis

Funções de duas variáveis são muito comuns em nosso cotidiano, em termos gerais os sistemas físicos reais raramente dependem de uma só variável, na verdade nós tendemos a simplificar nossas análises para o universo limitado de nossos conhecimentos. Veremos neste sub-capítulo as diversas formas de representação de funções que usam duas ou mais variáveis e um estudo completo destas formas.

Definições

Uma função de duas variáveis é a representação de um valor resultante de operações sobre estas variáveis, basicamente representa-se por:

$z=f(x,y)\,\!$

Em termos gerais uma função de duas variáveis é o resultado de um conjunto de regras que operam dois valores independentes o qual resulta na imagem representada por uma variável dependente. Da mesma forma que temos em funções de uma variável independente, estas funções possuem um conjunto de valores admitidos como válidos para que suas variáveis independentes não induzam a mesma a produzir valores inválidos, definimos o domínio como um conjunto de valores cujo produto cartesiano é expresso como:

$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}\,\!$

Se $D\,\!$ é o domínio de $f\,\!$ podemos admitir que os valores que resultam das operações da função sobre este domínio produzem uma imagem $I\,\!$, a qual é representação do conjunto de todos os valores que resultam da função sobre os pares em $D\,\!$

$I=\{f(x,y)|(x,y)\in D\}\,\!$

Exemplo 1

Seja a função:

$z={\frac {4}{x^{2}+y^{2}}}\,\!$

cujo domínio é $D=\{(x,y)|(x,y)\not =(0,0)\}\,\!$, calcule os valores da imagem para os pares de domínio: $[(2,1),(3,2),(1,4)]\,\!$.

Façamos:

$f(2,1)={\frac {4}{2^{2}+1^{2}}}\,\!$

$f(2,1)={\frac {4}{5}}\,\!$

$f(3,2)={\frac {4}{3^{2}+2^{2}}}\,\!$

$f(3,2)={\frac {4}{13}}\,\!$

$f(1,4)={\frac {4}{1^{2}+4^{2}}}\,\!$

$f(1,4)={\frac {4}{17}}\,\!$

Representação gráfica

Existem diversas maneiras de representar funções com mais de uma variável independente sob a forma de gráficos, Para o nosso entendimento inicial veremos os gráficos cartesianos, que trazem uma representação bastante apropriada para a maioria dos estudos que precisamos fazer.

Uma função de duas variáveis pode ser traçada sob um gráfico tridimensional, tal que os eixos $x\,\!$ e $y\,\!$ sejam representações das variáveis independentes e o eixo $z\,\!$ seja representação dos valores da função. Sob a óptica comum, este tipo de representação forma um conjunto de pontos que se assemelham a uma película que cobre o plano $xy\,\!$ a uma certa distância média. Como já vimos anteriormente, podemos chamar este tipo de representação de superfície.

Observemos o gráfico abaixo:

O comprimento e a largura representam valores independentes das duas variáveis fornecidas à função representada no eixo vertical, uma vez que temos um par de valores possíveis para os diversos pontos na base cada valor correspondente ao resultado da função, quando introduzidos os valores na mesma, são apresentados sob a forma de "alturas".

Esta forma de representação nos mostra claramente como os valores são expressos, nos dando a noção de como os pares de valores no plano de variáveis independente produzem um só valor de função para cada ponto projetado neste, desta forma o critério da unicidade de valor para a função não é violado.

Curvas de nível

Quando precisamos de uma visão geral a cerca dos valores que um gráfico pode nos fornecer podemos fazer uma espécie de compressão de valores em uma estrutura bidimensional, ou seja, imagine que temos que verificar em quais circunstâncias de valores das variáveis independentes que a função assume um determinado valor, para estes casos podemos marcar sobre um plano os valores dos pares que fornecem o valor que procuramos. Este procedimento é facilmente observado se tomarmos um cone com a base para baixo, se fizermos com que uma certa quantidade de água preencha um recipiente onde o mesmo está inserido, veremos uma circunferência ao observarmos o cone por cima, delimitado pela superfície da água que contorna o cone. Uma vez que para cada nível de água teremos uma altura, podemos dizer que ao traçarmos os valores para várias circunferências concêntricas estaremos desenhando curvas correspondentes aos níveis de água.

É como descrito acima que podemos ver o que são as curvas de nível, quando imaginamos que em um gráfico tridimensional podemos ter diversos objetos, como vimos anteriormente, os "contornos" destes objetos por valores definidos no eixo da função, nos trazem linhas que passam pelos valores das variáveis independentes que definiram estes.

No gráfico ao lado, observe as curvas concêntricas à região para onde as linhas vermelhas convergem. Estas curvas são conseguidas naturalmente pelo método descrito acima, portanto, as denominamos de curvas de nível. O método matemático para conseguir tais curvas é bastante intuitivo: consiste em escolher valores fixos para a função e encontrar pontos no domínio onde a equação resultante deste procedimento nos fornece. Se estabelecermos um valor $\delta \,\!$ constante e uma variável discreta $n\,\!$ numa equação linear que nos forneça os valores da função, teremos uma curva para cada valor fixo que seja atribuído a função. Desta forma podemos dizer que a função recebe, para cada curva, um valor fixo: $k\,\!$, de onde estabelecemos: $k=n\ \delta \,\!$ Quando colocamos os valores possíveis para a função na equação: $f(x,y)=k\,\!$ Basta-nos estabelecer os pares $(x,y)\,\!$ no gráfico, que nos fornecem os valores que a função linear $k\,\!$ exige.

Funções de mais de duas variáveis

Tipicamente, quando temos que representar valores no espaço temos que referenciar um valor para cada eixo do espaço cartesiano. Esta necessidade nos faz pensar em funções que dependam de três variáveis, como por exemplo a função de temperatura em um espaço fechado. Da mesma forma, podemos pensar em outras situações onde o tempo deva ser levado em conta também, o que nos fará pensar em funções de quatro variáveis, portanto podemos pensar que a desconsideração do número de variáveis pode servir de base para a generalização da expressão que define uma função.

Imaginemos que temos uma função $f(x,y,z,\dots )\,\!$, na qual não limitamos o número de variáveis. Se criarmos procedimentos que sirvam para a análise e manipulação de funções qualquer quantidade de variáveis poderemos generalizá-los. Esta consideração cabe a funções definidas por variáveis independentes não parametrizadas. De forma que podemos definir que os valores de tais variáveis podem assumir valores diversos e aleatoriamente distribuídos.