Cálculo (Volume 2)/Geometria tridimensional/Vetores no espaço

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo III

Definição

Seja $a_{n}\,\!$ um representante do conjunto de números reais enumerados de forma a identificar um dos valores em uma das dimensões do espaço, chamamos cada um destes elementos de componente.

Definimos o vetor como o conjunto de componentes que definem um ponto em um sistema de coordenadas cartesianas tais que sejam identificados por $<a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}>\,\!$, até n dimensões que possam ser expressas.

Representação

A representação de um vetor é comumente feita através de um segmento de reta com uma seta em uma das extremidades, o que indica o sentido em que o vetor evolui. A distância entre as duas extremidades é dada como a quantidade, amplitude, módulo que o vetor apresenta, enquanto que a sua inclinação informa a direção do mesmo.

Apresentação de valores

Dados dois pontos no espaço, $A\,\!$ e $B\,\!$, representados por $(x_{a},y_{a},z_{a})\,\!$ e $(x_{b},y_{b},z_{b})\,\!$ podemos representá-los sob a forma de um vetor efetuando a seguinte operação:

${\vec {v}}_{ab}=\langle x_{b}-x_{a},y_{b}-y_{a},z_{b}-z_{a}\rangle \,\!$

Conceituação

Considerando que o ponto $A\,\!$ seja um vetor com relação à origem e o ponto $B\,\!$ esteja $\delta \,\!$ unidades distantes do anterior, podemos dizer que os componenetes dos vetores são $u_{A}=x_{a},y_{a},z_{a}\,\!$ e os de $B\,\!$ são $u_{B}=x_{b},y_{b},z_{b}\,\!$, temos que:

$u_{B}=u_{A}+u_{\delta }\,\!$

e

$u_{\delta }=u_{B}-u_{A}\,\!$

Sendo $u_{A}\,\!$ e $u_{B}\,\!$ vetores, $u_{\delta }\,\!$ também é a representação de um vetor, resultante da operação dos dois primeiros.

Norma

O vetor se apresenta como um conjunto de coordenadas que definem-se nos eixos como triângulos retângulos, podendo ser operados de forma a encontrar parâmetros que nos sejam úteis, um deles é a norma. Se queremos fazer uso do valor numérico associado à magnitude da grandeza expressa pelo vetor podemos calcular a norma ou módulo, que constitui um valor absoluto desta grandeza, para isto usamos a relação quadrática:

$|{\vec {v}}|^{2}={v_{x}}^{2}+{v_{y}}^{2}+{v_{z}}^{2}\,\!$

O versor

Cada vetor tem sua propriedade fundamental de informação sobre direção e sentido como algo particular, por isso se quisermos obter um vetor que contenha apenas a informação sobre estas duas propriedades devemos calcular o versor do vetor.

O versor é um vetor unitário que contém a informação relativa espacial das propriedades de direção e sentido, ele pode ser calculado da seguinte forma:

Se ${\vec {u}}\,\!$ é o versor de ${\vec {v}}\,\!$, então:

${\vec {u}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}\,\!$

Isto se evidencia por:

$|{\vec {u}}|=\left|{\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}\right|\,\!$

$|{\vec {u}}|={\sqrt {\left({\frac {v_{x}}{|{\vec {v}}|}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{y}}{|{\vec {v}}|}}\right)^{2}+\left({\frac {v_{z}}{|{\vec {v}}|}}\right)^{2}}}\,\!$

$|{\vec {u}}|={\sqrt {\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{|{\vec {v}}|^{2}}}}\,\!$

$|{\vec {u}}|={\sqrt {\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}\,\!$

$|{\vec {u}}|=1\,\!$

Versores primários

Os versores são úteis para diversas operações que veremos mais adiante, alguns versores específicos têm um papel fundamental para o sistema de coordenadas e para a representação de vetores no espaço. Os versores primários são três vetores especificamente alocados nos eixos, o que nos permite uma forma particular de referenciar vetores num sistema tridimensional, são eles:

• ${\vec {i}}=\langle 1,0,0\rangle \,\!$
• ${\vec {j}}=\langle 0,1,0\rangle \,\!$
• ${\vec {k}}=\langle 0,0,1\rangle \,\!$

Operando os vetores de forma a separar cada componente, podemos dizer que o vetor ${\vec {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle \,\!$, pode ser referenciado e operado na forma:

${\vec {v}}=v_{x}{\vec {i}}+v_{y}{\vec {j}}+v_{z}{\vec {k}}\,\!$

O que poderemos constatar futuramente que é muito conveniente para certas operações algébricas.

Adição

Acima apresentamos uma síntese do que já conhecemos acerca da adição de dois vetores, o que nos resta é provar que isto é verdadeiro... A decomposição dos vetores em seus componentes horizontais e verticais, nos revela componentes de triângulos retângulos, nos quais podemos observar claramente a propriedade da adição dos vetores.

Observemos o gráfico:

Adição de vetores

. .

Podemos verificar que: ${\vec {w}}={\vec {v}}+{\vec {u}}\,\!$ e que: $w_{x}=v_{x}+u_{x}\,\!$ assim como: $w_{y}=v_{y}+u_{y}\,\!$.

Logo temos que, dados dois vetores:

${\vec {v}},{\vec {u}}\,\!$

a sua adição resulta em:

${\vec {w}}=\langle v_{x}+u_{x},v_{y}+u_{y}\rangle \,\!$ 

Expandindo para a forma tridimensional temos:

${\vec {w}}=\langle v_{x}+u_{x},v_{y}+u_{y},v_{z}+u_{z}\rangle \,\!$

Subtração

Da mesma forma que no caso anterior temos a subtração como já aprendemos, também podemos demonstrar esta propriedade usando a decomposição em triângulos retângulos:

Observemos o gráfico:

Subtração de vetores

. .

Podemos verificar que: ${\vec {w}}={\vec {v}}-{\vec {u}}\,\!$ e que: $w_{x}=v_{x}-u_{x}\,\!$ assim como: $w_{y}=v_{y}-u_{y}\,\!$.

Logo temos que, dados dois vetores:

${\vec {v}},{\vec {u}}\,\!$

a sua subtração resulta em:

${\vec {w}}=\langle v_{x}-u_{x},v_{y}-u_{y}\rangle \,\!$ 

Expandindo para a forma tridimensional temos:

${\vec {w}}=\langle v_{x}-u_{x},v_{y}-u_{y},v_{z}-u_{z}\rangle \,\!$

Multiplicação por escalares

Definimos que se $c\in \mathbb {R} \,\!$ expressando apenas valor numérico, então o denominamos escalar.

O produto de um escalar por um vetor é encontrado pela notação:

${\vec {w}}=c\ {\vec {a}}\,\!$

que operamos:

${\vec {w}}=\langle c\ a_{x},c\ a_{y},c\ a_{z}\rangle \,\!$

onde:

• ${\vec {w}}\,\!$ é o vetor resultante;
• ${\vec {a}}\,\!$ é o vetor parâmetro original;
• $c\ \,\!$ é o escalar.

Esta operação pode ser observada graficamente como abaixo podemos observar abaixo:

Note que todos os vetores gerados pela multiplicação por escalares são paralelos ao original, quando multiplicamos um vetor por $(-1)\,\!$ temos uma inversão de sentido e qualquer valor de escalar diferente de $1\,\!$ altera a magnitude do vetor.

Propriedades do produto por escalares

Nas operações abaixo notamos: ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}\,\!$ vetores em $\mathbb {R} ^{3}\,\!$ além de $c,k\,\!$ escalares.

Propriedade	Operação
Elemento neutro da adição	$0+{\vec {v}}={\vec {v}}\,\!$
Comutativa da adição	${\vec {v}}+{\vec {u}}={\vec {u}}+{\vec {v}}\,\!$
Associativa da adição	${\vec {v}}+({\vec {u}}+{\vec {w}})=({\vec {v}}+{\vec {u}})+{\vec {w}}\,\!$
Elemento oposto da adição	${\vec {v}}+(-{\vec {v}})=0\,\!$
Associativa da multiplicação por escalares	$(ck){\vec {v}}=c(k{\vec {v}})\,\!$
Distributiva (escalar para vetores)	$c({\vec {v}}+{\vec {u}})=c{\vec {v}}+c{\vec {u}}\,\!$
Distributiva (vetor para escalares)	${\vec {v}}(c+k)=c{\vec {v}}+k{\vec {v}}\,\!$
Elemento neutro da multiplicação por escalares	$1{\vec {v}}={\vec {v}}\,\!$