Cálculo (Volume 2)/Integrais múltiplas

Existem várias situções em que não é possível ou não é fácil utilizar uma integral simples. Assim, surge o aparecimento das chamadas integrais múltiplas que "varrem" o domínio de integração com a ajuda de duas ou três variáveis.

Os integrais múltiplos podem ser:

Integral dupla
$\int \int _{R}f(x,y)dA$

Integral triplo
$\int \int \int _{D}f(x,y,z)dV$

Integrais Duplas

Integrais duplas são integrais definidas de funções de duas variáveis $f(x,y)$ sobre uma região limitada no plano $xy$. Denotamos por:

$\int \int _{R}f(x,y)dA$

a integral dupla de $f(x,y)$ sobre a região de integração $R$.

Integrais duplas sobre retângulos

Aqui, vamos considerar o caso de uma região de integração retangular, i.e., $R=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2};~a\leq x\leq b,~c\leq y\leq d\}$.

Somas de Riemann

Esboço de uma região retangular particionada em subretângulos.

Como para integrais simples, integrais duplas são definidas como o limite de somas de Riemann. Para tanto, particionamos a região retangular $R$ em $n$subretângulos e denotamos a área do $k$-ésimo subretângulo por $\Delta A_{k}=\Delta x_{k}\Delta y_{k}$, onde $\Delta x_{k}$ e $\Delta y_{k}$ são os comprimentos dos lados deste subretângulo. Uma soma de Riemann é dada por:

$\sum _{k=1}^{n}f(x_{k},y_{k})\Delta A_{k}=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k},y_{k})\Delta x_{k}\Delta y_{k}$

onde $(x_{k},~y_{k})$ é um ponto qualquer pertencente ao $k$-ésimo subretângulo.

A integral dupla sobre $R$ é definida por:

$\int \int _{R}f(x,y)dA=\lim _{\Delta A\to 0}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k},y_{k})\Delta A_{k}$

com o limite sendo tomado sobre todas as partições retangulares possíveis, fazendo a área dos subretângulos tender a zero. Quando este limite existe, dizemos que $f$ é integrável. É condição suficiente para a existência deste limite $f$ ser contínua.