Cálculo (Volume 2)/Integrais múltiplas

Existem várias situções em que não é possível ou não é fácil utilizar uma integral simples. Assim, surge o aparecimento das chamadas integrais múltiplas que "varrem" o domínio de integração com a ajuda de duas ou três variáveis.

Os integrais múltiplos podem ser:

Integral dupla


Integral triplo

Integrais DuplasEditar

Integrais duplas são integrais definidas de funções de duas variáveis   sobre uma região limitada no plano  . Denotamos por:

 

a integral dupla de   sobre a região de integração  .

Integrais duplas sobre retângulosEditar

Aqui, vamos considerar o caso de uma região de integração retangular, i.e.,  .

Somas de RiemannEditar

 
Esboço de uma região retangular particionada em subretângulos.

Como para integrais simples, integrais duplas são definidas como o limite de somas de Riemann. Para tanto, particionamos a região retangular   em  subretângulos e denotamos a área do  -ésimo subretângulo por  , onde   e   são os comprimentos dos lados deste subretângulo. Uma soma de Riemann é dada por:

 

onde   é um ponto qualquer pertencente ao  -ésimo subretângulo.

A integral dupla sobre   é definida por:

 

com o limite sendo tomado sobre todas as partições retangulares possíveis, fazendo a área dos subretângulos tender a zero. Quando este limite existe, dizemos que   é integrável. É condição suficiente para a existência deste limite   ser contínua.