Cálculo (Volume 3)/Séries de potências

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Séries de potências

Uma série de potências é uma série do tipo $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+\ldots$ (série de potências de $x-a$), em que a e a_n são constantes.

Observação: Note que não se trata de uma série numérica. Uma série desse tipo pode convergir para alguns valores de x e divergir para outros valores. Assim, faz sentido falar em _domínio de convergência_, $D_{c}$, que é o conjunto dos valores de x que tornam a série convergente.

Teorema: Seja a série $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}$ com raio de convergência $r$, isto é, a série converge no intervalo aberto $(a-r,a+r)$. Então, chamando $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}$ de $f(x)$, temos:

• $f(x)$ é contínua em $(a-r,a+r)$
• $\exists f'(x)$ tal que $f'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot a_{n}(x-a)^{n-1}$
• $\exists H(x)$ tal que $H(x)=\int \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\right)dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-a)^{n+1}}{n+1}}$

Dica: Para determinar a soma de séries de potências, é comum partir de uma das seguintes séries:

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}\quad {\mbox{se }}|x|$ < $1$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{x}$

Através de processos como substituição de variáveis, multiplicação, integração e diferenciação, efetuados em ambos os membros da igualdade, é possível chegar à série cuja soma queremos determinar.