Computação Quântica/Capítulo 3/Exercícios

Exercícios Cap.3 - Introdução à Ciência da Computação

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Exercício 3.3 (Máquina de Turing para inverter um string de bits) Descreva uma máquina de turing que, dado um número binário X como entrada, sua saída seja os bits do número X em ordem inversa.

Considere os seguintes caracteres especiais do alfabeto da máquina: % (inicio da fita), B (espaço em branco), i (caracter invertido), * (indica fim da entrada).

A estratégia é marcar o fim da entrada com um caracter especial e fazer o cabeçote da máquina buscar um a um, em ordem invertida, os símbolos da entrada e escrevê-los após a marcação. Por fim, a marcação de fim de entrada é substituída por ínicio da fita.

• Acha o fim do número X e marca com caracter especial *
  • < Q1 , % , Q1 , % , +1 >
  • < Q1 , 1 , Q1 , 1 , +1 >
  • < Q1 , 0 , Q1 , 0 , +1 >
  • < Q1 , B , Q2 , * , -1 >
• Caminha para a esquerda encontrando os valores para inversão
  • < Q2 , 0 , Q3 , i , +1 >
  • < Q2 , 1 , Q4 , i , +1 >
  • < Q2 , i , Q2 , i , -1 >
  • < Q2 , % , Q6 , B , +1 >
• Inverte o símbolo 0
  • < Q3 , i , Q3 , i , +1 >
  • < Q3 , * , Q3 , * , +1 >
  • < Q3 , 0 , Q3 , 0 , +1 >
  • < Q3 , 1 , Q3 , 1 , +1 >
  • < Q3 , B , Q5 , 0 , -1 >
• Inverte o símbolo 1
  • < Q4 , i , Q4 , i , +1 >
  • < Q4 , * , Q4 , * , +1 >
  • < Q4 , 0 , Q4 , 0 , +1 >
  • < Q4 , 1 , Q4 , 1 , +1 >
  • < Q4 , B , Q5 , 1 , -1 >
• Anda para a esquerda até encontrar o marcador de fim de entrada *
  • < Q5 , 0 , Q5 , 0 , -1 >
  • < Q5 , 1 , Q5 , 1 , -1 >
  • < Q5 , * , Q2 , * , -1 >
• Remarca o começo da fita, sinalizando que o algoritmo terminou
  • < Q6 , i , Q6 , B , +1 >
  • < Q6 , * , Q6 , % , 0 >

Exercicío 3.8 (Universalidade de NAND) Mostre que a porta NAND pode ser usada para simular as portas AND, XOR e NOT, utilizando também fios, bits de trabalho (ancilla) e FANOUT.

• A porta NOT pode ser simulada através dos circuitos apresentados na figura abaixo, onde também podemos ver a tabela verdade destes.

$A=B\,\!$

• A porta AND pode ser simulada através dos circuitos apresentados na figura abaixo, onde também podemos ver a tabela verdade destes.

• A porta XOR pode ser simulada através do circuito apresentado na figura abaixo, onde também podemos ver a tabela verdade deste.

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Exercicío 3.9: Prove que f(n) é O(g(n)) se e somente se g(n) é Ω(f(n)). Deduza que f(n) é Θ(g(n)) se e somente se g(n) é Θ(f(n)).

Provar que f(n) é O(g(n)) se e somente se g(n) é Θ(f(n)).

f(n) é O(g(n)) $\to$ g(n) é Ω(f(n)).

f(n) é O(g(n))

f(n) <= c.g(n), para algum n >= n₀ e c.

f(n) / c <= g(n)

c'.f(n) <= g(n), chamando $c'={\frac {1}{c}}$

g(n) é Ω(f(n)), pela definição de Omega de uma função (com c = c' e n₀' = n₀)

g(n) é Ω(f(n)) $\to$ f(n) $\gets$ é O(g(n)).

g(n) é Ω(f(n))

$\ c.f(n)\leq \ g(n)$, para algum n $\geq$ n₀ e c qq.

$f(n)\leq {\frac {g(n)}{c}}$

$f(n)\leq c.g(n)$, chamando $c'={\frac {1}{c}}$

$\ f(n)$ é $\ O(g(n))$, pela definição de Omega de uma função.

Exercicío 3.11: Mostre que log n é O(n^k) para todo k > 0.

Indução, Caso base:

p/ k = 1:

log n <= c₁.n₁

c₁ >= log n / n

para n grande: lim ($n\to \infty$) ( log n / n ) = 0

Logo, c₁ >= 0

Hipótese da indução: log n <= c₁.n^k ( log n é O(n^k))

A provar, para k + 1: log n <= c₂.n^k+1 ( log n é O(n^k+1))

Da hipótese: 1 <= c₁.n^k / log n

P/ k + 1:

log n <= c₂.n^k+1

log n <= c₂.n^kn .(c₁.n^k / log n)

log n <= (c2c1n2kn) / log n

fazendo c₃ = c₂.c₁

c₃ >= log2n / n2kn

para n grande, lim ($n\to \infty$) ( log²n / n^2kn ) = 0

Assim, c₃ >= 0.

Exercicío 3.14: Suponha que e(n) é O(f(n)) e g(n) é O(h(n)). Mostre que e(n)g(n) é O(f(n)h(n)).

Temos que:

e(n) é O(f(n)) ( I )

g(n) é O(h(n)) ( II )

De I, temos: e(n) c₁.f(n)

De II, temos: g(n) $\leq$ c₂.g(n)

Assim:

e(n)g(n) c₁.c₂.f(n).h(n)

e(n)g(n) <= c₃.f(n).h(n)

e(n)g(n) é O(f(n)h(n)), pela definição de Big O.

Exercicío 3.21 Mostre que se uma linguagem L1 é redutível para a linguagem L2 e a linguagem L2 é redutível para a linguagem L3, então L1 é redutível para a linguagem L3.

• Por hipótese existem reduções polinomiais R1 e R2 tal que,

-> $x\in L3$ se somente se $R2(x)\in L2$

-> $x\in L2$ se somente se $R1(x)\in L1$

• Considerando o seguinte algoritmo:

R(x)

y1 <- R2(x)

y <- R1(y1)

return y

• Pela propriedade do algoritmo que usa R1 e R2 sabemos que se $x\in L3$ então $y1\in L2$ e consequentemente $y\in L1$, por outro lado se $x\notin L3$ então $y\notin L2$ e consequentemente $y\notin L1$.

Portanto, pelo algoritmo acima vale a propriedade $x\in L3$ se e somente se $R(x)\in L1$. Logo o algoritmo é polinomial e consequentemente L1 é redutível para L3.

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