Curso de termodinâmica/Equação de estado dos gases perfeitos

Equação de estado
Gases perfeitos	Gases reais	V der Waals	Est. corresp.	Outras

Lei de Avogadro

A uma temperatura e pressão constantes, o número de moléculas de gás contido num certo volume é o mesmo qualquer que seja o gás. Então, o volume V é diretamente proporcional ao número de moléculas (a P e a T constantes) ou ainda , em termos de número de mols (1 mol = 6,022 x 10²³ moléculas), V é diretamente proporcional ao número de mols (a P e a T constantes)

$V\;=\;k_{1}\;\cdot \;n$

Lei de Boyle-Mariotte

A temperatura constante (isotermia), os volumes ocupados por uma mesma massa gasosa são inversamente proporcionais às pressões que suportam. Por inversamente proporcional entenda que, quando a pressão aumenta, o volume decresce na mesma proporção e vice-versa.

Se representarmos a pressão em ordenadas e volume em abscissas, o gráfico da eq. de Boyle-Mariotte é uma curva denominada hipérbole equilátera.

Se a transformação isotérmica se realizar numa temperatura T'>T, valor do produto pV será mais elevado, e portanto a hipérbole representativa ficará mais afastada dos eixos.

$PV\;=\;k_{2}\;\cdot \;f(T)$

Lei de Charles

A pressão constante (condições isóbaras), o volume de uma quantidade constante de gás aumente proporcionalmente com a temperatura.

Para pressões suficientemente baixas, este comportamento é observado para todos gases. O volume é diretamente proporcional à temperatura T , isto é:

$PV\;=\;k_{2}\;\cdot \;f(T)$

se a temperatura é expressa numa nova unidade : o Kelvin (K) , ligado ao grau Celsius por :

$T(K)\;=\;T(C)\;+\;273,16$

Lei de Gay-Lussac

A volume constante, a pressão a que está sujeita uma certa quantidade constante de gás aumenta proporcionalmente com a temperatura.

Equação de estado dos gases perfeitos

Os gases que obedecem às 3 ultimas leis são ditos perfeitos (tem uma polémica : estes gases são perfeitos ou ideais? Usaremos o termo perfeito) . A combinação destas leis fornece :

${\frac {PV}{nT}}\;=\;Constante$

A constante é chamada constante dos gases perfeitos (símbolo R). A dimensão de PV é de uma energia .

$[R]\;=\;{\frac {[energia]}{[temperatura][quantidade\;de\;mat{\acute {e}}ria]}}$

R = 8.314 J.K^-1.mol^-1 = 0.08206 L.atm.K^-1.mol^-1 = 1.9872 cal.K^-1.mol^-1

Um traçado da pressão em relação ao volume (a temperatura constante) P = nRT /V se chama um isotermo e, como é uma função da forma f(x) = constante/x, possui aparência de uma hipérbole.

Podemos também representar o estado de um gás perfeito (para uma certa quantidade de matéria por área) num diagrama a três dimensões P,V e T . Os isotermos P(V) com duas dimensões são as projeções desta área sobre um plano .

Equação barométrica

A pressão exercida por uma coluna de líquido ( por exemplo o mercúrio) é calculada a partir de sua densidade que supomos constante qualquer seja a altura na coluna. No caso de uma coluna de gás de seção A, a densidade varia com a altitude. A pressão P na altura z, Pz , é devida ao peso da coluna de gás entre z e z+dz. Em conseqüência, a pressão diminui quando a altitude aumenta.

Quando a altura aumenta de uma pequena quantidade dz , a pressão aumenta de uma quantidade dP:

$dP\;=\;P_{z+dz}\;-\;P_{z}$

$dP\;=\;{\frac {massa\;do\;g{\acute {a}}s\;de\;z+dz\;ate\;\infty }{A}}\;\cdot \;g-{\frac {massa\;de\;g{\acute {a}}s\;de\;z\;at{\acute {e}}\;\;\infty }{A}}\;\cdot \;g$

$dP\;=\;{\frac {massa\;do\;g{\acute {a}}s\;de\;z\;at{\acute {e}}\;z+dz}{A}}\;\cdot \;g$

$dP\;=\;-{\frac {\rho _{z}\;\cdot \;A\;\cdot \;dz}{A}}\;\cdot \;g\;=\;-\rho _{z}\;\cdot \;g\cdot \;dz$

onde g é a aceleração da gravidade e $\rho _{z}$ a densidade do gás, que suponhamos ser idéntica de z ate z +dz . Além disso, para um gás perfeito de massa molar M:

$\rho _{z}\;=\;{\frac {MP_{z}}{RT}}$

o que conduz à equação barométrica:

$P\;=\;P_{0}\;e^{\frac {-Mg(z-z_{0})}{RT}}$

onde $P_{0}$ é a pressão na altitude $z_{0}$

Mistura de gases. Pressão parcial. Lei de Dalton

Seja uma mistura de diversos gases contida num volume V, colocada a uma temperatura T e submetida a uma pressão P . Anotamos por $n_{i}$ , o número de mols do gás i .

Por definição, a pressão parcial $P_{i}$ do componente i da mistura é a pressão que o gás iria produzir se for sozinho no recipiente .

No caso de um gás perfeito , a pressão total exercida por uma mistura é igual à soma das pressões parciais dos componentes . É a lei de Dalton , conseqüência da equação dos gases perfeitos , para qual o estado do gás depende só do número de moléculas e não da sua natureza .

$P_{1}\;=\;{\frac {n_{1}RT}{V}}$

$P_{2}\;=\;{\frac {n_{2}RT}{V}}$

$\;P_{total}\;$

$P_{total}\;=\;{\frac {n_{total}RT}{V}}\;=\;{\frac {(n_{1}+n_{2})RT}{V}}=\;{\frac {n_{1}RT}{V}}+\;{\frac {n_{2}RT}{V}}\;=P_{1}\;+P_{2}$

No caso de uma mistura de mais de dois constituintes:

$P_{i}\;={\frac {n_{i}RT}{V}}$

$P\;=\;\sum _{i}\;P_{i}\;=\sum _{i}{\frac {n_{i}RT}{V}}\;=\;{\frac {RT}{V}}\sum _{i}n_{i}$

${\frac {n_{i}}{\sum n_{i}}}\;=\;{\frac {P_{i}}{P}}\;=\;x_{i}$

onde xi é a fração molar do constituinte i da mistura .