Discussão:Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade/Arquivo LQT 1: diferenças entre revisões

mas '''não''' o valor de <math>f(x)</math> quado x é um ''número infinito''. Pelo menos no cálculo, não lidamos com [[w:Número transfinito|cardinais transfinitos]], então ''não'' é bom que os leitores pensem que ''x'' é igual a um tipo de ''infinito''...

Podemos, no entanto, criar links para os tópicos correspondentes da wikipedia, para que eles procurem identificar a diferença....

:Fazer referências e adições de texto, que enriqueçam o conteúdo é algo perfeitamente plausível, porém a maneira de lidar com a explanação inicial, que está destacada no início do comentário é subjetiva, este livro é didático e a sua idéia inicial é fazer a transição do pensamento de nível médio para nível universitário gradativamente, acho que a frase pode ficar como está e um parágrafo a seguir faça a explanação mais aprofundada. Algo do tipo: '''Apesar de não termos como classificar infinito como exatamente um número...''' --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 14h47min de 29 de Setembro de 2007 (UTC)

:: Podemos acrescenter no [[Cálculo I/Índice/Prefácio|Prefácio]] o que você disse sobre " fazer a transição do pensamento de nível médio para nível universitário gradativamente"? Acho que seria uma boa idéia! {{=)}}

=== Números grandes, tendências, infinito... ===

* É bem diferente falar de um número muito grande (um número real, por exemplo o [[w:Googol|Googol]]) e falar de um [[w:Número transfinito|número transfinito]]... Nesse sentido, acho que poderíamos mudar frases como:

"''Infinito é uma '''tendência'''...''" e o que é uma tendência?

:Mudar? Qual é exatamente a idéia mais apropriada neste caso? --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 14h47min de 29 de Setembro de 2007 (UTC)

:: Fiz uma nova leitura. Acho que tinha entendido tendência de outro jeito, mas agora sei o que quiz dizer (espero!). Fiz algumas pequenas correções no texto. Veja se aprova...

:: {{Feito}} [[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 23h50min de 5 de Outubro de 2007 (UTC)

* "Desta forma é um número que '''''só''' podemos representar como um limite...''" tem [[w:Número transfinito|outros jeitos]] sim!

e outras do gênero, levando em conta que certos infinitos tem uma formulação matemática precisa....

[[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 20h34min de 28 de Setembro de 2007 (UTC)

:Enfim, isto é uma questão de '''escopo''', lembre-se e terá que aprender a lidar com isto aqui, que isto '''não é uma enciclopédia''', cada livro tem que se adequar ao escopo de estudo e '''no máximo''' reportar referências para maiores detalhes. Para isto, já que não concorda com: "'''só podemos representar como'''" o mais coerente para este livro e capítulo seria algo como: "''' só podemos, ''por enquanto'', representar como'''". --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 14h47min de 29 de Setembro de 2007 (UTC)

::Ok! Vou me manter no escopo ao qual o livro é proposto. Do que eu disse sobre a frase "é um número que só podemos representar como um limite", penso o seguinte: ao definir limites "no infinito", me parece que se pretende normalmente é analisar o comportamento ''da função'' quando os valores são muito grandes (ou muito pequenos), e ''não'' representar ''o infinito''. Entende? Por isso acho que devemos mudar o foco da seção. Por exemplo:

::* Concordo em começar a seção apresentando algumas idéias do que seja o infinito (continuar falando em números muito grandes, valores inatingiveis, caminhos sem fim...). Isso ajuda a intuir as definições que vem depois. {{=)}}

:::*==>OK! --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 18h35min de 30 de Setembro de 2007 (UTC)

:::*==>Neste nível, sem propor uma abstração maior, a idéia é '''''imaginar infinito como um número que não é possível de se alcançar'''''. Acredito que para uma análise inicial esta visão serve muito bem. Porém, se deseja mudar a linha de pensamento fique a vontade, mas a necessidade de um horizonte onde se deva estabelecer a visão do foco ainda se mantém, nem todas as pessoas podem aprender sem visualizar um objeto final. --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 18h35min de 30 de Setembro de 2007 (UTC)

:::* {{Feito}} Alterei o enfoque, sem perder de vista o carater introdutório da seção. [[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 23h50min de 5 de Outubro de 2007 (UTC)

:::* [[Imagem:Nuvola apps error.png|20px]]'''Desfeito'''. Vamos retomar.

:::No momento, está escrito:

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<font color=#500000>

:::Desta forma <u>é um "número"</u>(1), apenas como suposição inicial. Este <u>é na realidade um ente matemático que nunca poderemos alcançar</u>(3), que só <u>podemos representar</u>(2) como um limite neste momento... Então façamos um estudo de <u>como representá-lo</u>(2).

:::[[#Breve explanação|No início]] deste capítulo, discutimos como analisar o comportamento de uma função (sua tendência) quando a variável se aproxima de um número em seu domínio. Nesta seção, discutiremos duas situações novas:

:::* O que acontece com os valores de <math>f(x)\,</math>, quando <math>x\,</math> é muito grande?

:::Usaremos o termo "infinito" sempre que for preciso lidar com "números gigantescos", no sentido de serem "tão grandes que nunca poderemos alcançar". Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de '''limite'''. Façamos então um estudo destes novos tipos de limite.

</font>

----

::# Ao supor que o infinito ''é um número'', estamos admitindo que ele ''tem as mesmas propriedades'' que os demais números (no caso do cálculo, os reais). O que não é verdade.

::#*'''Sugestão:''' ''Desta forma <u>é como se fosse um "número"</u>''. E não precisamos falar de ''suposição inicial'', já que ainda estamos lidando com ''idéias intuitivas'' neste parágrafo.

----

:::OK! [[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 15h56min de 9 de Outubro de 2007 (UTC)

:::Para isto tenho uma sugestão sintetizada:

:::<font color=green>Desta forma é como se fosse um "número", apenas como suposição inicial. Este é um ente matemático que nunca poderemos alcançar, que só podemos imaginar o que aconteceria caso um limite suficientemente alto fosse estabelecido... Então façamos um estudo de como podemos avaliar comportamentos de funções supondo valores extremamente altos em relação as expressões como um todo.</font>

::: Melhor? --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 15h56min de 9 de Outubro de 2007 (UTC)

:::: Sim. Mas algumas coisas parecem meio incompletas:

::::Poderia explicar (pra mim) o que quiz dizer? Aí digo se concordo... ou se acrescentamos também o que vc me explicar...

:::::Vamos lá:

:::::<font color=green> Desta forma é como se fosse um "número", apenas como suposição inicial. Este é um ente matemático que nunca poderemos alcançar, caso este ente estiver incluso em uma equação, só podemos imaginar o que aconteceria com a mesma caso um valor suficientemente alto, em relação ao outros membros desta, fosse estabelecido. Então façamos um estudo de como podemos avaliar comportamentos de funções supondo valores extremamente altos para a variável que tende a infinito, em relação à equação como um todo. </font>

:::::Acha que fica melhor assim?

:::::Obviamente, deve imaginar a qual procedimento me refiro... Quando levamos a variável sob o limite a valores suficientemente altos em relação a todos os membros da equação temos como avaliar qual o valor do limite, pois via de regra, o método utilizado para resolução que desejo expor é o que elimina termos com denominadores que tendem a infitito, cujo valor é nulo. --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 16h05min de 10 de Outubro de 2007 (UTC)

::::::Finalmente entendi do que estava sendo falado, e a qual procedimento se referia. Isso mudou a forma como eu via o parágrafo em relação aos que estão em volta. Proponho então '''mover''' o texto e colocar depois de ''"Deste modo, também poderemos representar as duas situações acima usando conceitos de limite.<strike> Façamos então um estudo destes novos tipos de limite.</strike>"'', com a seguinte "cara":

:::::<font color=#500000>Para isso, quando realizarmos um cálculo, podemos tratar o ''infinito'' como se fosse um "número", embora este seja um ente matemático que nunca poderemos alcançar. Caso a variável <math>x</math> esteja ''tendendo ao infinito'', e apareça em uma expressão, podemos imaginar o que aconteceria com a expressão caso <math>x</math> fosse um número suficientemente grande. Então façamos um estudo de como podemos avaliar o comportamento das funções quando a variável tende a infinito. </font>

:::::Acho que ficará melhor nesse lugar, depois de termos dito que há duas situações novas, começamos a falar dessa em particular... O que acha? [[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 18h42min de 10 de Outubro de 2007 (UTC)

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:::Mais Adiante, temos:

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<font color=#500000>

:::Antes de mais nada pensemos <u>qual a melhor maneira de aumentar sucessivamente o valor de uma função</u>(1) neste caso, isto é possível fazendo divisões por números <u>menores que 1</u>(2). Obviamente existem inúmeras formas de criar uma função que aumenta seu valor sucessivamente, usaremos esta pois nos ajuda a eliminar números racionais que nos trazem mais dificuldades de operação, como veremos logo adiante.

:::Vejamos um exemplo de uma função que aumenta sucessivamente os seus valores, quando a variável se aproxima de um determinado ponto. Uma possibilidade é usar divisões por números positivos muito pequenos (próximos de zero).

</font>

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::: Primeiramente, note que eu adicionei o parágrafo procurando substituir o primeiro, mantendo as idéias tratadas. Os motivos são os seguintes:

::# Ao falar de como fazer ''tal coisa'' com ''o valor de uma função'', dá-se a impressão de que foi dada uma função (pelos autores), e que os leitores têm a tarefa de descobrir como fazer a ''tal coisa'' com a função fixada. As alterações tinham a intensão de tornar mais claro o que se queria. Me parece que a proposta era induzir o leitor a ''criar'' uma função com ''determinada'' característica.

::#* O que quiz dizer?

::OBS: Note que mais adiante foi justificada a escolha de determinada função:

----

<font color=#500000>

:::Poderíamos então usar a função <math>f(x)=\frac{1}{|x|}\,</math>, embora, naturalmente, existam inúmeras funções que aumentam seus valor conforme <math>x</math> tende a zero. Não usaremos <math>f(x)=\frac{1}{x}\,</math>, pois assim evitamos um comportamento diferente para números negativos próximos de zero.

</font>

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:::Precisamos repetir lá em cima? [[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 01h57min de 9 de Outubro de 2007 (UTC)

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::::Bem, vejo que estes parágrafos não estão claros a respeito do propósito da escolha da função com denominador variável... Na verdade a intenção aqui é a de dar uma visão inicial para os casos das eliminações de termos com denominadores que tendem ao infinito, ou seja, funções que têm termos tais quais:

::::<math>\frac{a}{|x|}</math>

::::O que nos permite fazer:

::::<math>\lim_{x \to \infty} \frac{a}{|x|}=0</math>

::::Por isso sugiro adaptar os parágrafos para:

<font color=green>

::::Considerando uma função racional, tal que:

::::<math>f(x)=\frac{C}{g(x)} \,\!</math>

::::Pensemos na melhor maneira de aumentar sucessivamente o valor desta função. isto é possível fazendo com que <math>g(x)\,\!</math> forneça valores menores que 1. Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente, usaremos esta pois nos ajuda a eliminar números racionais que nos trazem mais dificuldades na análise dos resultados, como veremos logo adiante.

::::O mais importante aqui é notar que quanto mais <math>g(x)\,\!</math> aumenta, mais próximo de zero aproxima-se a função <math>f(x)\,\!</math>. </font>

<font color=#500000>

:::::Já está bem mais claro. Gostei de usar funções racionais, e acho que seria bom acrescentar que g(x) é um polinômio (isso pode ser enfatizado por escrito, e também usando '''p'''(x) e mvez de '''g'''(x)). O que acha? Fora isso, temos que corrigir alguns pontos:

::::# Quando você sugere eliminar problemas com "números racionais", para facilitar a análise, você se refere a "frações" ou "decimais"? Em que sentido eles atrapalham a análise?

::::#*A resposta dessa pergunta poderia muito bem figurar ''entre parentesis'' logo após a frase que comenta sobre isso no texto. Que tal? [[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 12h43min de 10 de Outubro de 2007 (UTC) </font>

:::::Ah, desculpe a falta de rigor, preciso corrigir isto em mim...

:::::#Na verdade esqueci de mencionar que <math>g(x) \,\!</math> é decrescente para a parte do parágrafo, desta forma:

<font color=500000>

::::::Considerando uma função definida como:

::::::<math>f(x)=\frac{C}{|x|} \,\!</math>

::::::Pensemos na melhor maneira de variar ''x'' para aumentar sucessivamente o valor desta função. Isto é possível fazendo com que <math>|x|\,</math> forneça valores que diminuem até zero. É importante notar que quanto mais <math>x\,\!</math> diminui, mais os valores da função <math>f(x)\,\!</math> aumentam.

::::::Obviamente existem inúmeras formas de criar funções que aumentam seu valor sucessivamente. Usaremos esta pois nos ajuda a evitar '''expressões''' como ''quociente de funções complicadas'' ou ''composição de várias funções''. Assim eliminamos dificuldades desnecessárias na análise dos resultados que veremos logo adiante.</font>[[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 14h50min de 11 de Outubro de 2007 (UTC)

</font>

:::::::Ótimo, acho que podemos incluí-lo desta maneira. {{=D}} --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 01h09min de 12 de Outubro de 2007 (UTC)

----

::* Não acho que deveríamos dizer que faremos um estudo de "como representá-lo", mas sim um estudo "da função" (afinal o cálculo é feito principalmente para se estudar funções). A função será estudada: (1) quando os valores de x "são muito grandes", ou seja, "tendem ao infinito" (<math>\lim_{x \to \infty}\ \frac{1}{x}\ </math>) e (2) quando a função "cresce muito", "tendendo ao infinito" se aproximamos x de um certo ponto (<math>\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} </math>)

:No caso da oração, novamente tenho que concordar, de fato podemos ter valores iguais em um intervalo onde a variação é nula... para este caso podemos incluir esta possibilidade: <font color=green>cada valor é precedido de outro igual,menor ou maior, mas com uma variação muito pequena.</font>

:A idéia desta frase é de levar ao leitor a imagem de que há a real necessidade de existência do valor para a função, seja ele qualquer que seja, ou seja, de que não deve haver indeterminação no meio do segmento da curva.

:Bem, aparte dos questionamentos, gostaria de agradecer pela atenção com que esteve analisando o texto, realmente gostei da maneira com que analisou minunciosamente o mesmo, trazendo melhorias. Obrigado. Gostaria também de lhe expor uma maneira simples para chamar a discussão do conteúdo: para isto podemos usar {{tl|Em discussão}}, dentro da página onde as mudanças estão sendo propostas, depois que entramos num acordo, retiramos a faixa e implementamos as mudanças conforme acordado. --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 23h59min de 27 de Setembro de 2007 (UTC)

:: Tudo bem então! Vou continuar sendo minuncioso...

:: Podemos incluir um daqueles "avisos" de que a wikipedia tem um artigo sobre "funções contínuas" em algum lugar?

:: Que tal trocar "''a função contínua em um '''intervalo''' do seu domínio é '''suavemente descritível''' ''" por "''a função contínua em um '''ponto''' do seu domínio apresenta '''variações suaves''' neste ponto ''". O que acha?

::: e sobre aquela última parte ("'''cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação''"), minha crítica não foi em favor de incluir o terceiro (e último caso). Estariamos sendo redundantes ao fazê-lo!

::: O que me diz a respeito da função que a cada irracional associa o próprio irracional e aos racionais associa o zero? Ela é contínua no zero, e só nele. Mas aquela frase parece não se entender muito bem com esse exemplo... Fica meio estranho falar em "um valor precedido de outro"...

::: Nada pessoal, não fui com a "cara da famigerada frase"... [[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 20h33min de 28 de Setembro de 2007 (UTC)

:::: Desculpe Helder, mas este livro tenta ser extremamente '''simples''' a princípio, tenho certeza de que ao tentar ler a oração com a visão '''''didática''''', que um educador tem que manter, entenderá o que esta sendo proposto. O resto devo comentar depois, pois meu filho está precisando de mim agora, até mais.--[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 14h55min de 29 de Setembro de 2007 (UTC)

::::: Ok! Compreendo a proposta... Não sei como melhorar a oração (mas tá na ponta da lingua... só não sei o que é ainda...). Se um dia desses me ocorrer uma sugestão sobre ela, volto aqui e comento... {{=)}}. Não se apresse em comentar o resto... Até + [[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 22h28min de 29 de Setembro de 2007 (UTC)

os dois valores são iguais

[[Usuário:Heldergeovane|Heldergeovane]] 20h34min de 28 de Setembro de 2007 (UTC)

:A síntese não é requerida aqui, na verdade devemos detalhar mais, acrescentar o trecho que deseja pode ser muito bom para a compreensão, mas reduzir as fórmulas não ajuda, apenas reduz informações.

:Quero reforçar o que já havia dito antes, nas seções acima: Se deseja incluir mais material e melhorar a análise desta seção sobre continuidade, fique a vontade, falta muita coisa aqui. Pode concluir esta seção... Obrigado. --[[Usuário:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 18h43min de 30 de Setembro de 2007 (UTC)

 

* Se for, acho desnecessário, pois a seção anterior já se presta a este propósito.

* Se não, acho bom revisarmos, pois não ficou claro o que se pretende...

 

:{{Pro}} Tudo bem, esta parte não estava completa ainda, como boa parte desta página, da mesma forma que a parte de continuidade que foi apenas iniciada. Retiremos a definição simbólica inicial. --[[User:Marcos Antônio Nunes de Moura|Marcos A. N. de Moura]] 14h15min de 22 de Novembro de 2007 (UTC)

:: Fiz mais uns ajustes na formatação, e eliminei algumas informações que foram ficando repetidas conforme fiz as edições. Agora os últimos parágrafos estão mais "limpos".

 

===Propriedades dos limites===

* Estive trocando algumas ocorrências de variáveis no meio do texto por códigos em Latex (por exemplo ''x'', foi trocado por <math>x</math>), para que a fonte usada em expressões matemáticas ficasse uniforme. Tenho uma dúvida: é melhor usar ''<nowiki><math>x</math></nowiki>'' ou ''<nowiki><math>x\,\! </math></nowiki>'' (<math>x</math> ou <math>x\,\! </math>) nas expressões em latex? Não percebi diferença no resultado (além de usar ''mais caracteres'' no último caso)...

* Andei corrigindo algumas coisas nas demonstrações das propriedades de limites.

Vou procurar uma demonstração para a propriedade do ''limite do quociente de funções'', e adicionar ao texto (mas estou com uma preguiça de digitá-la em latex...{{=S}})

* Estou pensando em adaptar a demonstração da propriedade de potências de limites para uma [[w:en:Mathematical induction|prova por indução]]. O que acha?

* + Uma última coisa, a faixa de discussão pode ser movida para as últimas seções, depois que decidirmos sobre ''o começo'' da seção "Definição" de limites?