Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas: diferenças entre revisões
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<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV'''''</div>
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'''Definição''': Uma seqüência (em portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é <math>\Z_+^* \,\!</math> e cuja imagem é <math>\R \,\!</math> ou <math>\Z \,\!</math>.
<math>f: \Z_+^* \rightarrow \R</math>
É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).
A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., ''n'' - 1, ''n'', ''n'' + 1, ... Cada número é um termo, com ''n'' sendo o ''enésimo'' termo. Denota-se a seqüência por:
{''a''<sub>''n''</sub>}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, ''a''<sub>1</sub> é 1, ''a''<sub>317</sub> é 317, e ''a''<sub>''n''</sub> é ''n''.
A seqüência também é indicada por: ''a''<sub>0</sub>, ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por '''S'''; Eles são uma '''seqüência em S'''.
Uma seqüência pode ter um número ''finito'' ou ''infinito'' de termos; portanto, pode ser uma ''seqüência finita'' ou uma ''seqüência infinita''. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.
Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de <math>\mathbb{N}</math> (o conjunto dos números naturais) em '''S'''.
Se ''S'' for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.
Uma ''subseqüência'' de uma seqüência ''S'' é formada removendo-se alguns elementos de ''S'' sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.
Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo ''recursivo''. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da [[w:Seqüência de Fibonacci|seqüência de Fibonacci]].
A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:
:<math>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n-1}{2^{n-1}} </math>
'''Notações''':
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OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação
==Representação==
Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:
<math>\,\!P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)</math>
<math>\,\!P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)</math>
==Fórmula do termo geral==
[[Imagem:Sucesión aritmética.png|thumb|250px|Uma progressão aritmética.]]
Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.
Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:
<math>a_n=a_1+(n-1).r\,\!</math>
'''Definição''': Dada uma seqüência <math>{a_n} \,\!</math>, dizemos que o número <math>L \in \R \,\!</math> é o limite de <math>{a_n} \,\!</math> para <math>n \rightarrow +\infty \,\!</math> se, <math>\forall \quad \varepsilon \,\!</math> > 0, <math>\exists N \,\!</math> tal que <math>n \ge N \Rightarrow |a_n - L| \,\!</math> < <math>\epsilon \,\!</math>.
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'''Definição''': Se a seqüência <math>{a_n} \,\!</math> tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.
Sejam <math>\{a_n\}, \{b_n\}</math> duas seqüências convergentes, isto é, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = A</math> e <math>\lim_{n \to \infty} b_n = B</math>.
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* <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}, \quad B \ne 0</math>
'''Definição''': Dada uma seqüência <math>f: \Z_+^* \rightarrow \R</math>, as restrições de <math>f</math> a subconjuntos de <math>\Z_+^*</math> serão denominadas subseqüências de <math>f</math>.
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'''Teorema''': Toda seqüência monótona e limitada é convergente.
'''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência monótona:
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