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<blockquote> O milagre da adequação da linguagem da matemática para a formulação das leis da física é um dom maravilhoso que nos entender nem merecem. Nós devemos ser gratos por isso e espero que ele permanecerá válido em pesquisas futuras e que se estenderá, para melhor ou para pior, para nosso prazer, embora talvez também a nossa perplexidade, a variedade de ramos de aprendizagem. </ Blockquote>
====The deep connection between science and mathematics====
Wigner's work provided a fresh insight into both physics and the [[philosophy of mathematics]], and has been fairly often cited in the academic literature on the [[philosophy of physics]] and of mathematics. Wigner speculated on the relationship between the [[philosophy of science]] and the [[foundations of mathematics]] as follows:
<blockquote>It is difficult to avoid the impression that a miracle confronts us here, quite comparable in its striking nature to the miracle that the human mind can string a thousand arguments together without getting itself into contradictions, or to the two miracles of laws of nature and of the human mind's capacity to divine them.</blockquote>
trabalho Wigner, desde uma perspectiva fresca para a física ea filosofia [[matemática]], e tem sido bastante citados na literatura acadêmica sobre a filosofia [[de física]] e de matemática. Wigner especulou sobre a relação entre a filosofia [[da ciência]] e os [[fundamentos da matemática]], como segue:
<blockquote> É difícil evitar a impressão de que um milagre nos confronta aqui, muito semelhante em sua natureza impressionante o milagre que a mente humana pode amarrar uma mil argumentos juntos sem ter-se em contradições, ou os dois milagres de leis de natureza e da capacidade da mente humana para a divina los. </ blockquote>
Later, [[Hilary Putnam]] (1975) explained these "two miracles" as being necessary consequences of a realist (but not Platonist) view of the [[philosophy of mathematics]]
<ref>{{cite journal |author=[[Hilary Putnam]] |title=What is Mathematical Truth? |journal=Historia Mathematica |volume=2 |pages=529–543 |year=1975 |doi=10.1016/0315-0860(75)90116-0 }}<br/>Reprinted in {{cite book |author=Hilary Putnam |title=Mathematics, Matter and Method: Philosophical Papers |publisher=Cambridge University Press |location= |year=1975 |isbn=0521206650 |pages=60–78 |volume=1 }}</ref>. However, in a passage discussing [[cognitive bias]] Wigner cautiously labeled as "not reliable," he went further:
Mais tarde, [[Hilary Putnam]] (1975) explica estes "dois milagres", como sendo conseqüências necessárias de um realista (mas não platônico) vista da filosofia [[matemática]]
No entanto, em uma passagem de discutir [[viés cognitivo]] Wigner cautelosamente rotulados como "não confiável", ele foi mais longe:
<blockquote>The writer is convinced that it is useful, in [[epistemological]] discussions, to abandon the idealization that the level of human intelligence has a singular position on an absolute scale. In some cases it may even be useful to consider the attainment which is possible at the level of the intelligence of some other species.</blockquote>
Whether humans checking the results of humans can be considered an objective basis for observation of the known (to humans) universe is an interesting question, one followed up in both [[cosmology]] and the [[philosophy of mathematics]].
Wigner also laid out the challenge of a cognitive approach to integrating the sciences:
<blockquote>A much more difficult and confusing situation would arise if we could, some day, establish a theory of the phenomena of consciousness, or of biology, which would be as coherent and convincing as our present theories of the inanimate world.</blockquote>
He further proposed that arguments could be found that might...
<blockquote>...put a heavy strain on our faith in our theories and on our belief in the reality of the concepts which we form. It would give us a deep sense of frustration in our search for what I called 'the ultimate truth'. The reason that such a situation is conceivable is that, fundamentally, we do not know why our theories work so well. Hence, their accuracy may not prove their truth and consistency. Indeed, it is this writer's belief that something rather akin to the situation which was described above exists if the present laws of heredity and of physics are confronted.</blockquote>
Some believe that this conflict exists in [[string theory]], where very abstract models are impossible to test given existent experimental apparatus. While this remains the case, the "string" must be thought of either as real but untestable, or simply as an illusion or artifact of either mathematics or [[cognition]].
<blockquote> O autor está convencido de que é útil, [] [epistemológica] discussões, a abandonar a idealização que o nível de inteligência humana tem uma posição singular em uma escala absoluta. Em alguns casos pode até ser útil considerar a realização que é possível ao nível da inteligência de algumas outras espécies. </ Blockquote>
Se os seres humanos verificando os resultados dos seres humanos pode ser considerado uma base objectiva para a observação do conhecido (para humanos) universo é uma pergunta interessante, um seguimento em ambos os [[cosmologia]] e da filosofia [[matemática]].
Wigner também estabeleceu o desafio de uma abordagem cognitiva para integrar as ciências:
<blockquote> uma situação muito mais difícil e confuso surgiria se nós poderíamos, algum dia, estabelecer uma teoria dos fenômenos de consciência, ou da biologia, o que seria o mais coerente e convincente como nossas atuais teorias do mundo inanimado. </ blockquote>
Ele propôs ainda que a argumentação pode ser encontrado que possa ...
<blockquote> ... exercer uma forte pressão sobre a nossa fé em nossas teorias e de nossa crença na realidade dos conceitos que formamos. Poderia dar-nos um profundo sentimento de frustração na busca por aquilo que chamou "a verdade suprema". A razão por que tal situação é concebível é que, fundamentalmente, não sabemos por que as nossas teorias funcionam tão bem. Por isso, sua precisão não pode provar a sua verdade e coerência. Na verdade, é essa crença do escritor que algo bastante semelhante à situação que foi descrita acima existe se as leis atuais de hereditariedade e da física são confrontados. </ Blockquote>
Alguns acreditam que esse conflito existe em string [[teoria]], onde os modelos são muito abstrato impossível testar aparelhos existente dado experimental. Enquanto isso continua a ser o caso, a string "deve ser pensado tanto como real, mas não testável, ou simplesmente como uma ilusão ou de qualquer artefato ou matemática [cognição []].
====Hamming's follow-on to Wigner====
[[Richard Hamming]], an [[applied mathematics|applied mathematician]] and a founder of [[computer science]], reflected on and extended Wigner's ''Unreasonable Effectiveness'' in 1980, mulling over four "partial explanations" for it<ref>{{cite journal |author=[[Richard Hamming]] |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics |journal=The [[American Mathematical Monthly]] |volume=87 |issue=2|year=1980 |url=http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Hamming.html}}</ref>. Hamming concluded that the four explanations he gave were unsatisfactory. They were:
1. ''Humans see what they look for''. The belief that science is experimentally grounded is only partially true. Rather, our intellectual apparatus is such that much of what we see comes from the glasses we put on. [[Arthur Stanley Eddington|Eddington]] went so far as to claim that a sufficiently wise mind could deduce all of physics, illustrating his point with the following joke: "Some men went fishing in the sea with a net, and upon examining what they caught they concluded that there was a minimum size to the fish in the sea."
Hamming gives four examples of nontrivial physical phenomena he believes arose from the mathematical tools employed and not from the intrinsic properties of physical reality.
* Hamming proposes that [[Galileo]] discovered the [[Galileo|law of falling bodies]] not by experimenting, but by simple but careful thinking. Hamming imagines Galileo as having engaged in the following [[thought experiment]] (Hamming calls it "scholastic reasoning"):
:<blockquote>Suppose that a falling body broke into two pieces. Of course the two pieces would immediately slow down to their appropriate speeds. But suppose further that one piece happened to touch the other one. Would they now be one piece and both speed up? Suppose I tie the two pieces together. How tightly must I do it to make them one piece? A light string? A rope? Glue? When are two pieces one?"</blockquote>
:There is simply no way a falling body can "answer" such hypothetical "questions." Hence Galileo would have concluded that "falling bodies need not know anything if they all fall with the same velocity, unless interfered with by another force." After coming up with this argument, Hamming found a related discussion in Polya (1963: 83-85)<ref>{{cite book |author=[[George Pólya]], Leon Bowden, School Mathematics Study Group |title=Mathematical methods in science; a course of lectures |publisher=Stanford : School Mathematics Study Group |location= |year=1963 |oclc=227871299 |series=Studies in mathematics |volume=11 }}</ref>. Hamming's account does not reveal an awareness of the 20th century [[Galileo|scholarly debate]] over just what Galileo did.
*The inverse square [[law of universal gravitation]] necessarily follows from the [[conservation of energy]] and of space having [[spacetime|three dimensions]]. Measuring the exponent in the law of universal gravitation is more a test of whether space is [[Euclidean]] than a test of the properties of the [[gravitational field]].
*The inequality at the heart of the [[uncertainty principle]] of [[quantum mechanics]] follows from the properties of [[Fourier integral]]s and from assuming [[time invariant|time invariance]].
[[Richard Hamming]], um [[matemática aplicada | aplicado matemático]] e um dos fundadores do computador [[ciência]], refletiu e alargadas Wigner''irracional''Eficácia em 1980, remoendo quatro "explicações parciais" para que <ref> ((cite journal | = [Richard [Hamming]] | título = Eficácia A irracional da Matemática Jornal | = A [[American Mathematical Monthly]] | volume = edição | 87 anos = 2 | url = 1980 | = ~ http://www.dartmouth.edu/ matc / MathDrama leitura / Hamming.html)) </ ref>. Hamming concluiu que os quatro explicações que ele deu foram insatisfatórios. Eles foram:
1. Os seres humanos''ver o que eles procuram''. A crença de que a ciência é experimentalmente terra é apenas parcialmente verdadeiro. Pelo contrário, nosso aparato intelectual é tal que muito do que vemos vem do óculos que colocamos. [[Arthur Stanley Eddington | Eddington]] foi tão longe como afirmar que uma mente suficientemente sábio podia deduzir toda a física, ilustrando o seu ponto com a seguinte piada: "Alguns homens saíram para pescar no mar com um líquido e, após examinar o que pegaram eles concluíram que havia um tamanho mínimo para os peixes no mar. "
Hamming dá quatro exemplos de fenômenos físicos nontrivial acredita que surgiram a partir das ferramentas matemáticas e não das propriedades intrínsecas da realidade física.
* Hamming propõe que [[Galileu]] descobriu o [[Galileo lei | da queda dos corpos]] não experimentando, mas, pensando simples, mas cuidado. Hamming imagina Galileu, que exerceram o seguinte chamadas [[experimento mental]] (Hamming que o raciocínio "escolástica"):
: <blockquote> Suponha que um corpo em queda quebrou em dois pedaços. É claro que as duas partes seria imediatamente abrandar a sua velocidade adequada. Mas suponhamos ainda que uma parte aconteceu de tocar o outro. Será que eles agora ser uma peça e tanto acelerar? Suponha que eu amarrar as duas peças juntas. Como bem que eu devo fazer para torná-los um pedaço? Uma seqüência de luz? Uma corda? Cola? Quando são dois pedaços de um? "</ Blockquote>
: Não há simplesmente nenhuma maneira que um corpo em queda podem "responder" como hipotética "perguntas". Assim, Galileu teria concluído que "a queda dos corpos não precisa saber nada, se todos eles caem com a mesma velocidade, a não ser interferido por outra força." Depois de chegar com este argumento, Hamming encontrada uma discussão relacionada em Polya (1963: 83-85) <ref> ((citar livro autor | = [[George Pólya]], Leon Bowden, Escola de Matemática Grupo de Estudos | título = métodos matemáticos na ciência, um ciclo de palestras | publisher = Stanford: Escola de Matemática Study Group localização = | ano = | oclc | 1963 = série | 227871299 estudos em matemática = | volume = 11)) </ ref. conta Hamming não revela a consciência do século [20 [Galileo debate | erudita]] sobre o que Galileu fez.
* A lei [do inverso do quadrado [da gravitação universal]] decorre necessariamente a conservação [[de energia]] e de ter o espaço [espaço-tempo | [três dimensões]]. Medindo o expoente da lei da gravitação universal é mais um teste de se o espaço é [[Euclides]] do que um teste das propriedades do [[campo gravitacional]].
* A desigualdade no coração do [incerteza princípio []] da mecânica quântica [[]] resulta das propriedades de [[s] Fourier integral] e assumindo a partir de [[tempo invariante | Tempo invariância]].
*Hamming argues that [[Albert Einstein]]'s pioneering work on [[special relativity]] was largely "scholastic" in its approach. He knew from the outset what the theory should look like (although he only knew this because of the [[Michelson-Morley Experiment]]), and explored candidate theories with mathematical tools, not actual experiments. Hamming alleges that Einstein was so confident that his relativity theories were correct that the outcomes of observations designed to test them did not much interest him. If the observations were inconsistent with his theories, it would be the observations that were at fault.
2. ''Humans create and select the mathematics that fit a situation''. The mathematics at hand does not always work. For example, when mere [[scalar (mathematics)|scalar]]s proved awkward for understanding forces, first [[vector (geometry)|vector]]s, then [[tensor]]s, were invented.
3. ''Mathematics addresses only a part of human experience''. Much of human experience does not fall under science or mathematics but under the [[value theory|philosophy of value]], including [[ethics]], [[aesthetics]], and [[political philosophy]]. To assert that the world can be explained via mathematics amounts to an act of faith.
4. ''[[Evolution]] has primed humans to think mathematically''. The earliest lifeforms must have contained the seeds of the human ability to create and follow long chains of close reasoning. Hamming, whose expertise is far from biology, otherwise says little to flesh out this contention.
====Tegmark's response====
A different response, advocated by Physicist [[Max Tegmark]] in 2007, is that physics is so successfully described by mathematics because [[Mathematical universe hypothesis|the physical world ''is'' completely mathematical]], isomorphic to a mathematical structure, and that we are simply uncovering this bit by bit<ref>{{cite arXiv |eprint=0704.0646 |title=The Mathematical Universe |year=2007 |author1=Max Tegmark |authorlink=Max Tegmark |class=gr-qc}}</ref>. In this interpretation, the various approximations that constitute our current physics theories are successful because simple mathematical structures can provide good approximations of certain aspects of more complex mathematical structures.
In other words, our successful theories are not mathematics approximating physics, but mathematics approximating mathematics.
* Hamming argumenta que [[Albert Einstein]] é um trabalho pioneiro na [[relatividade especial]] foi muito "escolar" em sua abordagem. Ele sabia desde o início que a teoria deve ser semelhante (embora ele só sabia que por causa do [[Michelson-Morley Experiment]]), e as teorias candidato explorado com as ferramentas matemáticas, não as experiências reais. Hamming alega que Einstein estava tão confiante que suas teorias da relatividade foram corretos que os resultados de observações destinadas a testá-las não muito interesse nele. Se as observações eram incompatíveis com suas teorias, que seriam as observações que estavam em falta.
2. ''Os seres humanos criam e selecione a matemática que se encaixam uma''situação. A matemática na mão nem sempre funciona. Por exemplo, quando apenas [[escalar (matemática) | escalar]] s revelou inábil para a compreensão das forças, em primeiro lugar [[vetorial (geometria) | vector]] s, então [[tensor] s], foram inventados.
3. ''Matemática aborda apenas uma parte da experiência humana''. Muito da experiência humana não se insere a ciência ou matemática, mas sob a [filosofia | Valor [teoria do valor]], incluindo [[ética]], a estética [[]] e [[filosofia política]]. Afirmar que o mundo pode ser explicada através da matemática equivale a um ato de fé.
4. ''[[Evolução]] tem aprontado seres humanos de pensar matematicamente''. As primeiras formas de vida, deve incluir as sementes da capacidade humana de criar e seguir longas cadeias de raciocínio próximo. Hamming, cuja competência está longe de biologia, caso contrário, diz que a carne a pouco esta tese.
resposta do ==== ==== Tegmark
Uma resposta diferente, defendida pelo físico [[Max Tegmark]] em 2007, é que a física é tão bem descrito por matemática, porque [[hipótese universo Matemática | o mundo físico''é''completamente matemática]], isomorfo a uma estrutura matemática , e que estamos simplesmente a descoberta desse pouco a pouco <ref> ((citar arXiv eprint = | 0704.0646 | title = The Universe Matemática | Ano = 2007 | autor1 = Max Tegmark Authorlink | = Max Tegmark | classe = gr-qc)) </ ref>. Nesta interpretação, as aproximações diferentes que constituem nossas teorias físicas atuais são bem sucedidos porque as estruturas matemáticas simples podem fornecer boas aproximações de certos aspectos mais complexas estruturas matemáticas.
Em outras palavras, nossas teorias não são bem sucedidas de aproximação física matemática, mas matemática aproximação matemática.
===Padrões matemáticos na natureza ===
Many forms observed in nature can be related to geometry (for sound reasons of resource optimization). For example, the [[chambered nautilus]] grows at a constant rate and so its shell forms a [[logarithmic spiral]] to accommodate that growth without changing shape. Also, [[honeybee]]s construct hexagonal cells to hold their honey. These and other correspondences are seen by believers in sacred geometry to be further proof of the cosmic significance of geometric forms. But scientists generally see such phenomena as the logical outcome of natural principles.
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