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Neste capítulo, assume-se que o conjunto de locais de [[w:Armazenagem|armazenagem]] podem ser representados como uma região plana contínua e por um conjunto de áreas positivas. Existem algumas vantagens em estudar o [[w:Configuração de instalação|''layout'']] em armazenagem contínua. Em primeiro lugar, os resultados da formulação contínua podem fornecer várias perspectivas relativamente aos problemas discretos. Em segundo lugar, muitos problemas de armazenagem envolvem um número tão grande de locais de armazenamento que uma representação contínua é bastante apropriada. Por fim, os problemas contínuos podem ser mais fáceis de resolver do que os problemas discretos ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al., 1992, p. 294-295]]).
== Regiões de armazenagem aleatória ==
[[Imagem:Planta de um armazém existente.JPG|thumb|400px|right|Figura 1: Planta de um armazém]]
Uma curva de nível inclui todos os pontos de uma distância percorrida esperada inferior ou igual ao valor da curva de nível, chama-se ao conjunto de pontos um conjunto de nível.
O [[w:Design|''design'']] da região de armazenagem é baseado unicamente no objectivo de minimizar a distância percorrida entre o ponto de armazenagem e a entrada/saída ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al., 1992, p. 295]]).
# [[Imagem:3de8.svg]] [[../Configuração de áreas de armazenagem contínuas/Um produto|Um produto]]
[[Imagem:Curvas de nível de um armazém existente.JPG|thumb|400px|right|Figura 2: Curvas de nível de um armazém existente]]
# [[Imagem:3de8.svg]] [[../Configuração de áreas de armazenagem contínuas/Dois produtos|Dois produtos]]
# [[Imagem:3de8.svg]] [[../Configuração de áreas de armazenagem contínuas/Cálculo da distância média percorrida|Cálculo da distância média percorrida]]
=== Um produto===
O ''layout'' de armazém pode ser representado como uma região contínua assim sendo, é necessário estudar o ''layout'' contínuo de um armazém. O [[w:Projeto|projecto]] de ''layout'' é, em muitos dos casos, destinado a um armazém já existente. Para estudar o ''layout'' contínuo de armazém considera-se um armazém com as dimensões de <math>\ 200 ft * 150 ft</math> com uma única porta, como se mostra na Figura 1.
Utilizando armazenagem aleatória, o espaço necessário num armazém é de <math>\ 18 000 ft^2</math> ou de <math>\ 27 500 ft^2</math>, assume-se que a [[w:Probabilidade|probabilidade]] de movimentação do material entre a porta e qualquer ponto do armazém é a mesma e que as deslocações são rectilíneas ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al., 1992, p. 296-299]]).
A partir das curvas de nível (k) representadas dentro de um armazém existente é possível verificar três diferentes áreas (A) como se pode ver na Figura 2:
*A área representada a amarelo aplica-se a armazéns que não excedam <math>\ 10 000ft^2</math>;
*A área representada a laranja aplica-se a armazéns entre os <math>\ 10 000ft^2</math> e <math>\ 20 000ft^2</math>;
*A área representada a vermelho aplica-se a armazéns entre os <math>\ 20 000ft^2</math> e <math>\ 30 000ft^2</math>.
A área de armazenagem (A) pode ser expressa em função das curvas de nível (k), através da seguinte [[w:Função|função]]:
<math>\ A =</math>
1) <math>\ k^2</math>, <math>\ 0 \le k \le 100</math>
2) <math>\ 200k - 10000</math>, <math>\ 10 \le k \le 150</math>
3) <math>\ 30000-(250-k)^2</math>, <math>150 \le k \le 250</math>
Como se verifica a área a amarelo, cuja curva de nível tem forma triangular, tem base <math>\ 2k</math>, altura <math>\ k</math> e área <math>\ k^2</math>. Os valores de <math>\ k</math> variam entre os <math>\ 0</math> e <math>\ 100 ft</math> e a área entre <math>\ 0</math> a <math>\ 10 000ft^2</math>.
Na área a laranja, o ponto onde a linha intersecta a parede superior do armazém, a distância da curva de nível ao ponto de entrada/saída é a soma de <math>\ 100ft</math> percorridos paralelamente ao eixo dos y's e <math>\ (k - 100) ft</math> percorridos paralelamente ao eixo dos x's. A curva de nível varia entre os <math>\ 100</math> e <math>\ 150ft</math> e a área de armazenagem varia de <math>\ 10 000</math> a <math>\ 20 000 ft^2</math>. A forma geométrica da curva de nível pode ser representada pela união de um rectângulo de dimensões <math>\ 200ft * (k - 100) ft</math> com um triângulo de <math>\ 200ft * 100 ft</math>. Assim, a área limitada pelas curvas de nível é <math>\ 200 k - 30 000</math>.
Na área a vermelho, a área limitada pela curva de nível pode ser obtida subtraindo a área exterior à curva de nível por a área total do armazém. Cada canto do armazém fora da curva de nível tem uma forma triangular de dimensões <math>\ (250 - k) * (250 - k)</math> assim, a área é igual à área do armazém (30 000) menos a soma das áreas dos dois cantos <math>\ ((250 - k)^2)</math>. Os valores de <math>\ k</math> variam entre <math>\ 150</math> a <math>\ 250ft</math> e a área entre <math>\ 20 000</math> a <math>\ 30 000 ft^2</math>.
[[Imagem:Área de armazenagem de 18 000 ft^2.JPG|thumb|400px|right|Figura 3: Área de armazenagem de 18 000 <math>ft^2</math>]]
Resolvendo a função da área de armazenagem (<math>\ A = 200 k - 30 000</math>) em ordem a <math>\ k</math>, ao substituir <math>\ A</math> por 18 000 fica <math>\ k</math> igual a <math>\ 140 ft</math> como se verifica na Figura 3.
[[Imagem:Área de armazenagem de 27 500 ft^2.JPG|thumb|400px|right|Figura 4: Área de armazenagem de 27 500 <math>ft^2</math>]]
Resolvendo agora a função da área de armazenagem (<math>\ A = 30 000 - (250 - k^2)</math>) em ordem a <math>\ k</math>, ao substituir <math>\ A</math> por 27 500 fica <math>\ k</math> igual a <math>\ 200 ft</math> como se verifica na Figura 4.
[[Imagem:Áreas de armazenagem de produtos com uma única porta.JPG|thumb|400px|right|Figura 5: Áreas de armazenagem de produtos com uma única porta]]
=== Dois produtos ===
Considere-se dois produtos, 1 e 2, cujas necessidades de espaço e movimentações por dia são respectivamente ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al., 1992, p. 301]]),
<math>\ S_1 = 2500 ft^2</math>, <math>\ S_2 = 2400 ft^2</math> e <math>\ T_1 = 100</math>, <math>\ T_2 = 50 </math>.
Os [[w:Produto|produtos]] que apresentam um rácio de [[w:Recepção (armazém)|recepção]]/[[w:Expedição (armazém)|expedição]] elevado devem estar localizados próximos do ponto de entrada.
<math>\ T_1 / S_1 = 0,04</math> e <math>\ T_2 / S_2 = 0,021</math>, como, <math>\ (T_1 / S_1) > (T_2 / S_2)</math>, logo, o produto 1 é colocado no ''layout'' em primeiro lugar.
Para delimitar a zona ocupada pelo produto 1 é necessário construir uma curva de nível que delimite a área de <math>\ 2500 ft^2 </math>.
Existe uma única porta, ao longo do eixo y's e a região de armazenagem deve ocupar apenas o primeiro e o quarto [[w:Sistema de coordenadas cartesiano|quadrantes]]. Então, para o produto 1 é destinada a região de armazenagem triangular com <math>\ 100ft</math> de base e <math>\ 50ft</math> de altura. A região de armazenagem triangular com <math>\ 140 ft</math> de base e <math>\ 70ft</math> de altura é destinada à soma das duas áreas de armazenagem (produto 1 e 2), cuja área é <math>\ 4 900 ft^2</math>, como se verifica na Figura 5.
[[Imagem:Layout de armazenagem contínua.JPG|thumb|400px|right|Figura 6: Layout de armazenagem contínua]]
=== Cálculo da distância média percorrida ===
==== Armazém com uma porta ====
===== Um produto =====
Considerando locais de armazenagem discreta, a distância média percorrida na zona de armazenagem pode ser determinada somando as distâncias médias de cada produto.
A distância pode ser determinada somando as distâncias percorridas de e para todos os locais de armazenagem atribuídos a um produto, dividindo a soma pelo número de locais destinados a esse produto e multiplicando o resultado pelo número médio de movimentações efectuadas por período de tempo, pelo produto.
No caso da armazenagem contínua, a distância média pode ser obtida [[w:Integral|integrando]] a região de armazenagem e multiplicando o resultado pela [[w:Razão (matemática)|razão]] entre o número de movimentações e o espaço destinado ao produto, ou então, estabelecendo uma relação entre a área da linha de curva. Considerando que existe uma única porta, que a região de armazenagem está no primeiro e quarto quadrantes e que as movimentações são rectilíneas, é possível verificar através da Figura 6 o ''layout'' de armazenagem contínua ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al., 1992, p. 303-304]]).
Considerando uma curva de nível arbitrária k, a área envolvida (A) é igual a <math>\ k^2</math>. Logo,
<math>\ A = k^2 = q (k)</math>
<math>\ k = A^{1/2} = r (A)</math>
onde q (k) é a relação entre A e k e r (A) é a função inversa que relaciona k com A. Assim a função inversa de r (t) é dada por:
<math>\ A = q (r (t))</math>
Sendo <math>\ q (k) = k^2</math> então,
<math>\ A = r (A)^2 \Leftrightarrow r (A) = A^{1/2}</math>
Geralmente, à medida que uma curva de nível varia do valor mínimo ao máximo, a área envolvida varia do valor mínimo ao valor A. Neste caso, o valor mínimo da curva de nível pode ser obtido a partir da equação anterior, fazendo A igual a zero; o valor máximo pode ser obtido igualando a mesma equação à área de armazenagem a envolver.
A área da figura 6 é <math>\ 152 000 ft^2</math>, ao aplicar a equação <math>\ k =A^{1/2} = r (A)</math>, verifica-se que o valor mínimo de k é igual a zero e o valor máximo é <math>\ 389,8718 ft</math>.
A distância média percorrida é calculada pela seguinte expressão:
<math>\ E \left [ R \right ] </math> = <math> \int_{R} {T \over A} f (x)\, dx </math> = <math>{T \over A}</math> <math>\ \int_{r(0)}^{r(A)} q'(k)\, dk </math>
Onde E[R] é a distância média percorrida na região de armazenagem R, T é o número de movimentações, <math>\ f (X)</math> é a distância média por viagem.
Sendo que a função distribuição para a distância percorrida é dada por <math>\ q (k) / A</math>, então a função densidade é dada por <math>\ q' (k) / A</math> para r (0) ≤ k ≤ r (A).
Considerando a equação anterior no cálculo da distância média percorrida, aplicada ao exemplo da Figura 6 tem-se:
<math>\ E \left [ R \right ] </math> = <math>\ {T \over A} \int_{0}^{A^{1/2}} (2k)k\, dk</math> = <math>\ {2T \over 3} A^{1/2}</math>
Logo, para a movimentação de uma unidade por minuto e uma área de <math>\ 152 000 ft^2</math>, <math>\ E[R] = 259,9145 ft/min</math>.
===== Dois produtos =====
Considerando o exemplo da Figura 5, a distância média percorrida para um único produto é dada por ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al., 1992, p. 304]]):
<math>\ E \left [ R_1,R_2 \right ] </math> = <math> {T_1 \over A_1} \int_{r(0)}^{r(A_1)} (2k)k\, dk</math> + <math> {T_2 \over A_2} \int_{r(A_1)}^{ r(A_1+A_2)} (2k)k\, dk</math>
onde T1 e T2 são os valores das movimentações dos produtos 1 e 2, respectivamente.
O produto 2 varia em valor desde o máximo do produto 1 até ao valor das áreas conjuntas dos dois produtos. Assim:
<math>\ E \left [ R_1,R_2 \right ] </math> = <math>\ {100 \over 2500} \int_{0}^{2500^{1/2}} (2k)k\, dk</math> + <math> {50 \over 2400} \int_{2500^{1/2}}^{ 4900^{1/2}} (2k)k\, dk = 6361,11 ft </math>
==== Armazém com duas portas do mesmo lado ====
===== Um produto =====
[[Imagem:Região de armazenagem contínua com duas portas.JPG|thumb|400px|right|Figura 7: Região de armazenagem contínua com duas portas]]
Supondo um armazém com duas portas (P1 e P2), localizadas ao longo do eixo dos y's separadas por uma distância c, e uma região de armazenagem localizada no primeiro e quarto quadrantes, a movimentação rectilinear de/para o armazém tem igual probabilidade de ocorrência para cada porta e é necessária uma área de armazenagem A.
Sendo r a distância rectilínea da intersecção da curva de nível com o eixo dos y's à porta mais próxima, a área é dada por ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al., 1992, p. 299, p.304-305]]):
<math>\ A = r (c + r) </math>
Resolvendo em ordem a r tem-se:
<math>\ r = 0,5 [(4 A + c^2)^{1/2} - c] </math>
atribuindo a cada porta um peso de 0,5, a relação entre r e k é dado por:
<math>\ k = 0,5 r + 0,5 (r + c ) </math>
ou
<math>\ r = k - 0,5 c </math>
Substituindo em <math>\ A = r (c + r) </math> por:
<math>\ r = k - 0,5 c </math>
obtém-se:
<math>\ A = (k - 0,5 c)(k + 0,5 c) </math>
ou
<math>\ A = k^2 - 0,25 c^2 = q (k) </math>
resolvendo k em função de A tem-se que:
<math>\ k = (A + 0,25 c^2)^{1/2} = r (A) </math>
e
<math>\ r (0) = 0,5 c </math>
A distância média percorrida é dada por:
<math>\ E \left [ R \right ] </math> = <math>\ {T \over A} \int_{0,5c}^{(A+0,25c^2){1/2}} (2k)k\, dk</math> = <math>\ {T \over 12A} \left [ (4A + c^2)^{3/2}-c^3 \right ]</math>
Supondo que <math>\ c = 20 ft </math>, <math>\ A = 10 000 ft^2</math>, e que <math>\ T = 100 por hora </math> então,
<math>\ E [R] = 6 760,25 ft/hora </math>.
===== Dois produtos =====
Considerando o exemplo anterior, extensivo a várias classes de produtos. Para o produto j onde, <math>\ B_j = A_1 + ... + A_j</math> ([[Logística/Referências#refbFrancis|Francis et al., 1992, p.305-306]]):
<math>\ q (k_j) = k_j^2 - 0,25 c^2</math>
<math>\ r (B_j) = (B_j + 0,25 c^2)^{1/2} </math>
Para três classes de produtos, a distância média percorrida é dada por:
<math>\ E \left [ R_1,R_2,R_3 \right ] </math> =
<math>\ {2 \over 3} \left \{ {T_1 \over A_1} \left [(B_1 + 0,25c^2)^{3/2}-(0,25c^2)^{3/2} \right ]+{T_2 \over A_2} \left [ (B_2 + 0,25c^2)^{3/2}-(B_1 + 0,25c^2)^{3/2} \right ]+{T_3 \over A_3}\left [(B_3 + 0,25c^2)^{3/2}-(B_2 + 0,25c^2)^{3/2} \right ] \right \}</math>
Supondo que são feitas 100 movimentações por hora e um espaço total necessário de <math>\ 10 000 ft^2 </math>:
*os produtos da classe I representam 75% das movimentações e 15% das necessidades de espaço;
*os produtos da classe II representam 20% das movimentações e 35% do espaço de armazenagem;
*os produtos da classe III representam 5% das movimentações e 50% do espaço.
considerando T1 = 75, A1 = 1 500, T2 = 20, A2 = 3 500, T3 = 5 e A3 = 5 000, as razões entre as movimentações e os espaços para as três classes de produtos são respectivamente de 0,05; 0,005714 e 0,001.
Com <math>\ c = 20 ft </math>, a distância média percorrida para as três classes é de <math>\ 3 677,49 ft/hora </math>.
Para estabelecer um limite superior para o espaço necessário em armazenagem aleatória resultar na mesma distância média percorrida em armazenagem dedicada das três classes de produtos calcula-se a distância média percorrida para uma classe de produtos de área desconhecida e iguala-se à distância média percorrida pelas três classes de produtos.
Assim sendo, para <math>\ c = 20ft</math> e T = 100 por hora tem-se que:
<math>\ E \left [ R \right ] </math> = <math>\ {100 \left [(4A_{rs} + 20^2)^{3/2}-20^{3} \right ]\over 12A_{rs}} = 3 677,49 ft/hr</math>
Resolvendo em ordem a <math>\ A_{rs}</math> tem-se <math>\ 2 772 ft^2</math>.
Assim sendo, com base nos resultados obtidos é possível verificar que o espaço necessário para a armazenagem aleatória não pode exceder 27,72% da área do sistema de armazenagem dedicada.
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