Otimização/Situação inicial: diferenças entre revisões

Embora se possa trabalhar com mínimos e máximos, nosao outroslongo dos próximos capítulos só trabalharemos com mínimos, pois achar o máximo de uma função <math> f(x) </math> é oequivalente mesmo dea achar o mínimo da função <math> -f(x) .</math>

== Mínimo Globalglobal ==

SejaSejam <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}.</math>. Para encontrarmos o mínimo global, devemos encontrar o <math> \operatorname{min} \; f(x), \forall \; x \in D .</math>

|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é mínimo global, se <math> f(\bar{x}) \le f(x), \forall \; x \in D.</math>

== Máximo Globalglobal ==

Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}.</math>. Para encontrarmos o máximo global, devemos encontrar o <math> \operatorname{max} \; f(x), \forall \; x \in D .</math>

|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é máximo global, se <math> f(\bar{x}) \ge f(x), \forall \; x \in D.</math>

== Mínimo Locallocal ==

Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}.</math>. Para encontrarmos o mínimo local, devemos encontrar o <math> \operatorname{min} \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x}).</math>

|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é mínimo local, se

:se <math> f(\bar{x}) \le f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> onde <math> B_\epsilon (\bar{x}) = \{ x \in D ; \; \| x - \bar{x} \| < \epsilon \}.</math>

== Máximo Locallocal ==

Seja <math> D \subset \mathbb{R}^n </math> e <math> f:D \rightarrow \mathbb{R}.</math>. Para encontrarmos o máximo local, devemos encontrar o <math> \operatorname{max} \; f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x}).</math>

|Dizemos que um ponto <math> \bar{x} \in D </math> é máximo local, se <math> f(\bar{x}) \ge f(x), \forall \; x \in D \cap B_\epsilon (\bar{x})</math> onde <math> B_\epsilon (\bar{x}) = \{ x \in D ; \; \| x - \bar{x} \| < \epsilon \}.</math>

==Exemplo Exemplos ==

Seja <math> f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} ,</math>, tais que <math> D_2 \subset D_1 .</math>.

=== Exemplo 1 ===
Mostrar que <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) .</math>===

Afirmação: <math> f(y)=\inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(y) \le f(x), \forall \; x \in D_1</math> e <math> f(z)=\inf_{x \in D_2}f(x) \Rightarrow f(z) \le f(x), \forall \; x \in D_2.</math>

Prova1: Tome <math> t \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow t \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(t), \forall \; t \in D_2 \Rightarrow f(y) \le f(z) .</math>.

Prova2: Suponha por contradição que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) \Rightarrow f(z) < f(y).</math>. Mas <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow z \in D_1 \Rightarrow f(y) \le f(z) .</math>. Logo <math> f(z) < f(y) \le f(z) .</math>. Contradição! A contradição foi supor que <math> \inf_{x \in D_2}f(x) < \inf_{x \in D_1}f(x) .</math>.

Portanto, <math> \inf_{x \in D_1}f(x) \le \inf_{x \in D_2}f(x) .</math>

=== Exemplo 2 ===

Seja <math> f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}; D_1, D_2 \subset \mathbb{R} ,</math>, tais que <math> \bar{x} \in D_2 \subset D_1 .</math>. Seja <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_1 .</math>.

=== Mostrar que <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 .</math> ===

Suponha por contradição que <math> \exists \; z \in D_2 </math> tal que <math> f(z) < f(\bar{x}) .</math>. Por <math> z \in D_2 \subset D_1 \Rightarrow f(\bar{x})\le f(z).</math>. Logo <math> f(z) < f(\bar{x})\le f(z) .</math>. Contradição! A contradição foi supor que <math> \exists \; z \in D_2 </math> tal que <math> f(z) < f(\bar{x}) .</math>. Portanto <math> f(\bar{x})\le f(x), \forall \; x \in D_2 .</math>