Análise real/Integral de Riemann: diferenças entre revisões
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A integral de Riemann têm como objetivo calcular a '''região''' limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta '''região''' através da divisão da mesma em retângulos.
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== Soma inferior e soma superior ==
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*(A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a
Linha 103:
==== Demonstração ====
Se <math> A = f([a,b]), \; B = g([a,b])</math>, então <math> C = \{ f(x) + g(x) ; x \in [a,b] \} \subset A + B </math>
: pelo [[Análise real/Completude#Teorema_.28Ordena.C3.A7.C3.A3o_dos_Sups_e_Infs.29
::(a) <math> sup(f+g) = sup(C) \le sup (A + B) = sup(A) + sup(B) = sup(f) + sup(g)</math>
::(b) <math> inf(f+g) = inf(C) \ge inf (A + B) = inf(A) + inf(B) = inf(f) + inf(g)</math>
Linha 115:
*(a)Sejam <math> A = \{ \underline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} </math>
** <math> A + B = \{ \underline{S}(f/[a,c],P)+\underline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \underline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \} </math>
***pelo [[
**** <math> \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = sup(A+B) = sup(A) + sup (B) = \underline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \underline {\int}_{c}^{b} f(x)dx </math>
*(b)Sejam <math> A = \{ \overline{S}(f/[a,c],P); \forall P \subset P^* \}, B = \{ \overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} </math>
** <math> A + B = \{ \overline{S}(f/[a,c],P)+\overline{S}(f/[c,b],P); \forall P \subset P^* \} = \{ \overline{S}(f/[a,b],Q); \forall Q \subset Q^* \} </math>
***pelo [[
**** <math> \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx = inf(A+B) = inf(A) + inf (B) = \overline {\int}_{a}^{c} f(x)dx + \overline {\int}_{c}^{b} f(x)dx </math>
Linha 150:
==== Demonstração ====
== Funções integráveis ==
Seja <math> f:[a,b] \mapsto \mathbb{R} </math>
Linha 157 ⟶ 156:
==== Demonstrações ====
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